Алгебра (теория на пръстените)

В теорията на пръстените, алгебра над комутативен пръстен или R-алгебра е обобщение на понятието алгебра над поле.

Формално определение

Нека R и A са комутативни пръстени с единица. A се нарича R-алгебра ако за $a, b\in R$ и $x, y\in A$ e дефинирано A-произведение $ax\in A$ и са налице следните аксиоми:

1. $a(x + y) = ax + ay$
2. $(a + b)x = ax + by$
3. $(ab)x = a(bx)$
4. $1.x = x$
5. a(xy) = (ax)y = x(ay).

Първите четири аксиоми показват, че A представлява R-модул, а петата се грижи за съгласуваност с умножението в A.

A се нарича крайнопородена R-алгебра, ако съществуват краен брой $x_1,...,x_n\in A$, такива че всеки елемент на A е полином с коефициенти от R на $x_1,...,x_n$.

Примери

• Всеки пръстен може да се разглежда като $\mathbb{Z}$-алгебра.
• Пръстенът на полиномите на n променливи $k[x_1,...,x_n]$ се явява k-алгебра.
• Ако R е подпръстен на A, пръстенът A по естествен начин е R-алгебра.