Аналитична функция

В математиката под аналитична функция се разбира функция, която е зададена локално със сходящ степенен ред. Аналитичните функции представляват своеобразно обобщение на полиномите. Прави се разлика между аналитична функция на реална променлива и аналитична функция на комплексна променлива (холоморфна функция). Макар че и двата вида имат някои общи свойства (например диференцируемост), холоморфните функции притежават допълнителни свойства, които липсват при аналитичните функции на реална променлива.

Определение

Една функция е реална аналитична в отвореното множество D от реалната права, ако за всяка точка $x_0\in D$ е възможно представяне по следния начин:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots,$

където коефициентите a₀, a₁, ... са реални числа и степенният ред е сходящ за всяко x в околност на x₀.

Казано по друг начин, аналитична функция е безкрайно диференцируема функция в D, чиито тейлъров ред във всяка точка x₀ в D

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

е сходящ за всяко x в околност на x₀ и е равен на f(x).

Определението за комплексна аналитична функция се получава като заменим реална права с комплексна равнина в горните редове.

Примери

• Всеки комплексен полином (от степен n) е аналитичен. Това се дължи на факта, че коефициентите пред членовете от степен по-висока от n са нули и полиномът съвпада с тейлоровия си ред.

• Показателната функция е аналитична, защото нейният тейлоров ред е сходящ навсякъде в дефиниционната ѝ област.

• Тригонометричните функции, логаритъмът, и степенната функция са аналитични във всяко отворено подмножество на дефиниционната си област.

• Функцията абсолютна стойност върху реалната права или комплексната равнина не е аналитична, понеже не е диференцируема в 0.

• Функцията комплексно спрягане $z\rightarrow\overline{z}$ не е аналитична в $\mathbb{C}$, макар че е в $\mathbb{R}$.

Свойства на аналитичните функции

• Сбор, произведение и композиция на аналитични функции е аналитична функция.
• Реципрочната функция на аналитична функция, която не се анулира, е аналитична.
• Ако функцията f е аналитична в точката $x\in D$, то тя притежава производни от произволен ред в $x\in D$. Обратното твърдение не е вярно.
• За всяко отворено множество Ω ⊆ C, множеството A(Ω), съдържащо всички ограничени аналитични функции u : Ω → C е банахово пространство спрямо супремум-нормата. Че границата на равномерно сходяща редица от аналитични функции е аналитична функция, се доказва в (при поставените условия) чрез теоремата на Морера.

Виж още

• Холоморфна функция

Литература

• Теория на аналитичните функции, Татяна Аргирова, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", 1992