Архимедова спирала

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Положителният клон на архимедова спирала и сектор M1OM2 от нея

Архимедова спирала е равнинна трансцендентна крива, която се дефинира като геометричното място на точка, движеща се с постоянна скорост v по лъч, който се върти около полюс О с постоянна ъглова скорост w.

Кривата е алгебрична спирала, тъй като уравнението ѝ в полярни координати е във вид на полином: \rho = a \varphi , където a = \frac{v}{w}. Състои се от два клона, съответстващи на положителните и отрицателните стойности на \varphi. Обикновено се изобразява само единият от тях.


Специфично за архимедовата спирала е, че разстоянието между всеки две съседни намотки е постоянно число, равно на 2 \pi a. Радиусът на кривината на спиралата е: R = a \frac{(\varphi^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}{\varphi^2 + 2} .

Кривата е наречена архимедова, тъй като първи я е изследвал Архимед във връзка с трисекцията на ъгъла и квадратурата на кръга. Архимед открива формулата за площта на сектора, което е един от първите примери за квадратура на криволинейна област. Площта на сектор M1OM2 се изчислява по формулата:  S = \frac{a^2}{6}({\varphi_2}^3 - {\varphi_1}^3), където \varphi_1 е ъгълът между полярната ос и OM1, а \varphi_2 е ъгълът между полярната ос и OM2, \varphi_1 < \varphi_2.

В края на 17 век спиралата бива и ректифицирана (Бонавентура Кавалиери, Жил де Робервал, Пиер дьо Ферма, Блез Паскал). Дължината на дъга от кривата, отговаряща на ъгъл \varphi се изчислява по формулата: L = \frac{a}{2} \left[ \varphi.\sqrt{1 + \varphi^2} + \operatorname{argsh}\,\varphi \right].


Понякога под архимедова спирала се разбира по-голям клас спирали с общо параметрично уравнение  r = a + b \varphi^{1/x}, където традиционната архимедова спирала се получава при x = 1, a = 0. При това обобщение, други видове архимедови спирали са хиперболичната спирала, спиралата на Ферма и жезълът.

Използвани източници[редактиране | edit source]

  • "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
  • "Математическая энциклопедия" (5 тома), Изд. "Советская энциклопедия", 1985
  • "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки[редактиране | edit source]