Архимедова спирала

Архимедова спирала е равнинна трансцендентна крива, която се дефинира като геометричното място на точка, движеща се с постоянна скорост v по лъч, който се върти около полюс О с постоянна ъглова скорост w.

Кривата е алгебрична спирала, тъй като уравнението ѝ в полярни координати е във вид на полином: $\rho =a\varphi$ , където $a={\frac {v}{w}}$ .

Състои се от два клона, съответстващи на положителните и отрицателните стойности на $\varphi$ . Обикновено се изобразява само единият от тях.

Специфично за архимедовата спирала е, че разстоянието между всеки две съседни намотки е постоянно число, равно на $2\pi a$ .

Радиусът на кривината на спиралата е: $R=a{\frac {(\varphi ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}{\varphi ^{2}+2}}$ .

Кривата е наречена архимедова, тъй като първи я е изследвал Архимед във връзка с трисекцията на ъгъла и квадратурата на кръга. Архимед открива формулата за площта на сектора, което е един от първите примери за квадратура на криволинейна област. Площта на сектор M₁OM₂ се изчислява по формулата: $S={\frac {a^{2}}{6}}({\varphi _{2}}^{3}-{\varphi _{1}}^{3})$ , където $\varphi _{1}$ е ъгълът между полярната ос и OM₁, а $\varphi _{2}$ е ъгълът между полярната ос и OM₂, $\varphi _{1}<\varphi _{2}$ .

В края на 17 век спиралата бива и ректифицирана (Бонавентура Кавалиери, Жил де Робервал, Пиер дьо Ферма, Блез Паскал). Дължината на дъга от кривата, отговаряща на ъгъл $\varphi$ се изчислява по формулата: $L={\frac {a}{2}}\left[\varphi .{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\operatorname {argsh} \,\varphi \right]$ .

Понякога под архимедова спирала се разбира по-голям клас спирали с общо параметрично уравнение $r=a+b\varphi ^{1/x}$ , където традиционната архимедова спирала се получава при x = 1, a = 0. При това обобщение, други видове архимедови спирали са хиперболичната спирала, спиралата на Ферма и жезълът.

Източници[редактиране | редактиране на кода]

„Математический энциклопедический словарь“, Ю. В. Прохоров, „Советская энциклопедия“, Москва, 1988
„Математическая энциклопедия“ (5 тома), Изд. „Советская энциклопедия“, 1985
The Penguin Dictionary of Mathematics, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки[редактиране | редактиране на кода]