Векторно произведение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Векторното произведение на два вектора \vec{a} и \vec{b} е вектор с дължина, равна на произведението от големините им и синуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно синусът му, а оттам — и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана).

Ако са нанесени векторите \vec{a} и \vec{b} с общо начало, то директрисата на вектора (\vec{a} \times \vec{b}) минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от \vec{a} и \vec{b}. Посоката на вектора се определя с правилото (\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}) да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Ако векторите \vec{a} и \vec{b} са колинеарни (включително ако някой от тях е нулев), то векторното им произведение е нулевият вектор.


Свойства[редактиране | edit source]

  • Антикомутативност: \vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})
  • Линейност: (\lambda\vec{a})\times(\mu\vec{b})=\lambda\mu(\vec{a}\times\vec{b}) за произволни реални числа \lambda и \mu.
  • Дистрибутивност: (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}


Аналитично представяне[редактиране | edit source]

Ако векторите \vec{a} и \vec{b} са зададени с координатите си \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) и \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) в тримерното пространство и \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.