Вълнички

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Вълничка, уейвлет (английски: wavelet, френски език: ondelette) е математическа функция, която се използва за разлагането на функции или непрекъснати във времето сигнали по честотни елементи и изучаването на всеки честотен елемент с разделителна способност, съответстваща на мащаба му. Под вълничково преобразувание (wavelet-преобразование) се разбира представянето на функция чрез вълнички. Вълничките са мащабирани и транслирани копия (дъщерни вълнички) на вълничка-майка, която обикновено е бързо затихващо трептене или такова с крайна дължина. Предимството на вълничковото преобразувание пред класическото преобразуване на Фурие се проявява най-вече при представянето на функции с остри скокове, точки на прекъсване, както и за точното разлагане и възстановяване на крайни непериодични сигнали или на променливи сигнали.

Формално такова представяне се разглежда като едно разлагане на функция от L2 спрямо ортонормиран базис от дъщерни вълнички или пълна редица (рамка или Рисов базис от дъщерни вълнички) в L2.

Вълничковите преобазувания биват дискретно (ДВП, DWT) и непрекъснато (НВП, CWT). И двете са преобразувания на непрекъснати във времето аналогови сигнали. НВП използва всички възможни мащаби и транслации, докато ДВП използва само изброимо много мащаби и транслации от предварително зададен масив.

Произход на понятието[редактиране | edit source]

Терминът "вълничка" или "уейвлет" е бил използван в продължение на десетилетия в областта на цифровата обработка на сигнали и при геофизични изследвания.[1] Понятието wavelet (вълничка, уейвлет, елементарна вълна) е въведено от Жан Морле, ( фр. Morlet) и Александар Гросман, (хърв. Grossmann) през 80-години на XX век. Те използват френската дума ondelette, която означава "вълничка". После тя е преведена на английски като "wavelet" със същото значение.

Теория на вълничките[редактиране | edit source]

Теорията има широко приложение в много математически и инженерни области. Всички вълничкови преобразования или уейвлет преобразувания (ВП, WT) могат да се разглеждат като друг вид времево-честотно представяне или за непрекъснати във времето (или аналогови) сигнали и се свързват с хармоничния анализ. Почти всички ДВП с практическо приложение използват дискретни във времето филтър-банки или комплекти от филтри (вълничката и коефициените за мащаба). Те съдържат филтри с крайна импулсна характеристика (КИХ, FIR ) или филтри с безкрайна импулсна характеристика (БИХ, IIR). Вълничките с НВП, CWT се подчиняват на съотношение на неопределеност на Хайзенберг, HUP, докато онези с ДВП се разглеждат в контекста на други съотношения на неопределеност.

ВП се делят на три основни вида: непрекъснати, дискретни и основани на многомащабно приближение.

Непрекъсанти вълничкови преобразувания (Параметри - непрекъснато отместване и мащабиране)[редактиране | edit source]

Даден сигнал с ограничена енергия при непрекъсанти вълничкови преобразувания се проектира върху непрекъснато семейство от честотни ленти или подобни подпространства на функционално пространство Lp или функционно пространство L^2(\R). В този смисъл сигналът може да бъде представен във всяка честотна лента от тип [f,\,2f] за всички положителни честоти f>0 или това е октавата в акустиката. Оттук сигналът може да бъде възстановен чрез подходящо обединяване на всички резултантни честотни компоненти. Честотните ленти или подпространства (подленти) са мащабирани варианти на подпространство с мащаб 1. Това подпространство е най-вътрешното положение като място, породено чрез отместване на дадена пораждаща (генерираща) функция \psi \in L^2(\R), матерински вълнички. Един пример за мащабиране в единична честотна лента, или за интервала от едно до две [1,2], е тази функция

\psi(t)=2\,\operatorname{sinc}(2t)-\,\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t},

чрез нормализираната sinc функция. Известни са и множество други функции като:

Meyer

.

Подпространството с мащаб a или честотна лента [1/a,\,2/a] се генерира чрез функциите (понякога наричани вълнички деца)

\psi_{a,b} (t) = \frac1{\sqrt a }\psi \left( \frac{t - b}{a} \right),

където a е положително и определя мащаба и b е някое реално число и определя отместването. Двойката (a,b) определя една точка в дясната полуравнина \R_+\times \R. Така проекцията на една функция x върху подпространството с мащаб a има вида

x_a(t)=\int_\R WT_\psi\{x\}(a,b)\cdot\psi_{a,b}(t)\,db

с уейвлетни коефициенти

WT_\psi\{x\}(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle=\int_\R x(t)\overline{\psi_{a,b}(t)}\,dt.

Вижте списък от някои Непрекъснати уейвлети.

За анализа на сигнала x, може да се построят уейвлетните коефициенти в мащабограмата или скейлограмата на сигнала.

Дискретно уейвлет преобразуване ( дискретни параметри на транслации и мащабирания )[редактиране | edit source]

Поради невъзможността да се прави числен анализ на даден сигнал по всички уейвлет коефициенти възниква въпросът, дали е възможно да се възстанови сигнал по съответно взетите уейвлет коефициенти, като се избират дискретни подмножества от горната полуравнина. Такава система е например афинната система за някои реални параметри a>1 и b>0. Съответното дискретно подмножество на горната полуравнина съдържа всички точки (a^m, n\,a^m b) с целочислени индекси m,n\in\Z. Така за съответните породени уейвлети се получава

 \psi_{m,n}(t)=a^{-m/2}\psi(a^{-m}t-nb).

Едно достатъчно условие за възстановяване на някакъв сигнал x с крайна енергия по формулата

 x(t)=\sum_{m\in\Z}\sum_{n\in\Z}\langle x,\,\psi_{m,n}\rangle\cdot\psi_{m,n}(t)

е това функциите \{\psi_{m,n}:m,n\in\Z\} да формират стегнат (твърд) фрейм от векторно пространство от L^2(\R).

Многомащабно дискретно уейвлет приближение[редактиране | edit source]

D4 wavelet

Във всяко дискретизиране на уейвлет преобразуване, на вълничково преобразуване, за всяка ограничена правоъгълна област от горната полуравнина, се получават само един ограничен брой от уейвлетни коефициенти. Нещо повече, всеки един коефициент изисква оценяване на интеграл. За да се намали изчислителната сложност, е необходима една вспомагателна функция, уейвлет-баща или вълничка-баща \phi\in L^2(\R). Освен това изисква се a да бъде цяло число. Един типичен избор е a=2 и b=1. Най-известната двойка от вълничка баща и майка е от вида Daubechies, Добеши 4, или db4 уейвлет, по името на И. Добеши, Ingrid Daubechies. От вълничките майка и баща могат да се построят подпространствата

V_m=\operatorname{span}(\phi_{m,n}:n\in\Z), където \phi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi(2^{-m}t-n)

и

W_m=\operatorname{span}(\psi_{m,n}:n\in\Z), където \psi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi(2^{-m}t-n).

От тук се изисква редицата (последователността)

\{0\}\subset\dots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset\dots\subset L^2(\R)

да образува едно многомащабно приближение на a^{m} и подпространствата \dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots\dots да са ортогонални "разлики" от горната редица, така че , W_m е ортогонално допълнение на V_m вътре в подпространството V_{m-1}. По аналогия с теоремата за дискретизацията може да се направи заключение, че пространството V_m със разстояние на дисктеризация 2^m повече или по-малко покрива честотната лента от 0 до 2^{-m-1}. Така ортогоналното допълнение, W_m грубо покрива лентата [2^{-m-1},2^{-m}]. От тези отношения на вложение и ортогоналност следва съществуването на редиците h=\{h_n\}_{n\in\Z} и g=\{g_n\}_{n\in\Z}, които удовлетворяват тъждествата:

h_n=\langle\phi_{0,0},\,\phi_{-1,n}\rangle and \phi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} h_n\phi(2t-n)

и

g_n=\langle\psi_{0,0},\,\phi_{-1,n}\rangle and \psi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} g_n\phi(2t-n).

Второто тъждество от първата двойка е едно мащабиращо уравнение за вълничката баща \phi. И двете двойки тъждества образуват основата на алгоритъма за бързо уейвлет преобразуване. Може да се отбележи, че не всеки дискретен уейвлет ортонормален базис може да бъде асоцииран към мултирезолюционния анализ; например, множеството Journe уейвлет не допуска мултирезолюционен анализ.

Вълничка майка (уейвлет майка)[редактиране | edit source]

При приложения на практика и от съображения за ефективност, се предпочитат функции с компактен носител като майка (прототип) вълнички (функции). Все пак, за да се определят изисквания за аналитичност (при непрекъснато WT) и като цяло теоретични изисквания, се избира функциите вълнички от подпространството на пространство L^1(\R)\cap L^2(\R). Това е пространството от измерими функции , които са абсолютно интегрируеми и със сумируем квадрат:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\, dt <\infty and \int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 \, dt <\infty.

Това да сме вътре в това пространство, означава че може да се определят условията за нулево средно единична квадратична норма:

\int_{-\infty}^{\infty} \psi (t)\, dt = 0 - условието за нулево средно, и
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2\, dt = 1 - условието за единична квадратична норма.
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2\, dt = 1 - условието за единична квадратична норма.

За да бъде бъде \psi уейвлет за непрекъснато уейвлетно преобразуване (виж там за точните условия), вълничката майка трябва да удовлетворява критерий за допустимост (или най-общо казано да е от клас полу-диференцируеми), за да има обратно преобразуване твърдо. За дискретнoто уейвлет преобразуване, трябва да е е изпълнено като минимум условието, че реда от уейвлети е представяне на единица в пространство-то L^2(\R). Повечето построения на дискретни уейвлетни преобразувания използват мултирезолюционния анализ, който определя вълничката чрез мащабиращата функция. Тази мащабираща функция е решение на функционално уравнение. В повечето ситуации е полезно да се ограничи \psi, да бъде непрекъсната функция с по-голям брой M затихващи моменти (приближаващи се до нулата), т.е. за всички числа m<M

\int_{-\infty}^{\infty} t^m\,\psi (t)\, dt = 0.

Вълничката майка е мащабирана (или дилатирана) с коефициент a и транслирана (или отместена) на коефициент b, за да се получи (според оригиналната формулировка на Морле, Morlet):

\psi _{a,b} (t) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right).

За непрекъснатото WT, двойката (a,b) изменя, варира върху цялата полу-равнина R+ × R; за дискретното WT тази двойка варира върху едно нейно дискретно подмножество, което се нарича също така афинна група. Често тези функции некоректно биват отнасяни към базовите функции на (непрекъснато) преобразуване. Фактически, както при непрекъснатото Фурие преобразуване, тук няма базис на непрекъснатото уейвлет преобразуване. Време-честотната интерпретация използва малко по-различна формулировка (след Delprat).

Сравнение с Фурие преобразуването (с непрекъснато време)[редактиране | edit source]

Вълничковото (уейвлет) преобразуване често се сравнява с преобразуване на Фурие, в което сигналите са представяни като една сума от синусоиди. Основната разлика е в това, че вълничките са локализирани едновременно и по честота и по време, докато при при стандартното преобразуване на Фурие има само локализация по честота. Кратковременното Фурие преобразуване КВФП или STFT повече прилича на уейвлет преобразуването, като при него има и честотна и времева локализация, но там има проблеми с разделителната способност (резолюцията) по честота/време. Уейвлетите често дават едно по-добро представяне на сигнала, ползвайки Мултирезолюционен анализ, който балансира разделителната способност за произволни време и честота. Дискретното уейвлет преобразуване е по-несложно (или икономично като изчисления), заема като време O(N), сравнено с времето O(N log N), необходимо за Бързо Фурие преобразуване. Това предимство като изчислителна сложност не е присъщо на трансформацията, но отразява избора на логаритмично разделяне по честота, за разлика от равномерно разпределени по честота раздели (прозорци) на БПФ (Бързо Фурие Преобразуване), ползват се същите базисни функции като при ДПФ (Дискретното Фурие Преобразуване).[2]Също така е важно да се отбележи, че тази сложност единствено може да се прилага, когато размера на филтъра не зависи от размера на сигнала....

Определение за вълничка (уейвлет)[редактиране | edit source]

Съществуват няколко начина за определяне на уейвлет (или семейство уейвлети).

Мащабиращ филтър (Скейлинг филтър)[редактиране | edit source]

Един ортогонален уейвлет е напълно дефиниран чрез мащабиращ филтър - един нискочестотен – крайна импулсна характеристика - КИХ или FIR филтър с дължина 2N плюс 1. При биортогонални уейвлети, са дефинирани отделни филтри за разлагане и филтри за възстановяване. При анализ с ортогонални уейвлети вискочестотния филтър се построява (пресмята ) като квадратурно огледален филтър на нискочестотния филтър, и филтрите за възстановяване са симетрични във времето (обратен ред на време) за фитрите за разлагане. Уейвлетите на Добеши (Daubechies) и симлетите (symlet) могат да се дефинират чрез мащабиращ филтър.

Мащабираща функция[редактиране | edit source]

Уейвлетите се определят чрез уейвлет функцията ψ(t) (т.е. майчиния уейвлет) и мащабиращата(скалиращата) функция φ(t) (наричана също бащин уейвлет) във времевата област. Тази уейвлет функция по същество е един нискочестотен филтър и мащабирането й за всяко ниво намалява двойно честотна му лента. Това създава проблем в това че, за да се покрие целия спектър, ще са необходими безкрайно количесто нива. Виж [1] за по-детайлна информация. За уейвлети с компактен носител, φ(t) може да се приема за крайна по дължина и е еквивалентна на мащабиращ филтър g.

Уейвлетите на Meyer могат да бъдат определни чрез мащабиращи функции.

Уейвлетна функция[редактиране | edit source]

Уейвлетът има представяне във времевата област единствено като уейвлетната функция ψ(t).

Всъщност, Мексиканска шапка уейвлет може да се дефинира чрез уейвлетна функция. Вижте един списък с няколко Непрекъснати уейвлети.

Приложения на дискретото уейвлетно преобразуване[редактиране | edit source]

Най-общо, една апроксимация на DWT се ползва за компресиране на данни ако сигнала е вече дискретизиран, и непрекъснато уейвлетно преобразуване - CWT за анализ на сигнали. Така, апросимацията с DWT най-често се ползва в техническите науки и компютръните науки, и непрекъснатото или CWT в научните изследвания. В последно време уейвлет преобразуване е адаптирано за огромен брой приложения, като често замества традиционното Преобразуване на Фурие, или Fourier Transform. В множество области от физиката може да се види това изместване на парадигмата, в това число като молекулярна динамика, ab initio пресмятания или пресмятания от основните принципи, астрофизика, локализация на Плътност на матрици , сеизмология, оптика, турболентност и квантова механика. Тази промяна също се наблюдава и при обработката на изображения, кръвно налягане, анализи на сърдечен пулс и ЕКГ, мозъчни ритми, ДНК анализ, анализ на протеини, климатология, обща обработка на сигнали, разпознаване на глас, компютърна графика и мултифрактален анализ. В областта на компютърно зрение и обработка на изображения, идеята за представяне на мащаб-пространство и Гаусови диференциращи оператори се разглежда като едно канонично многомащабно представяне. Едно възможно приложение на уейвлет апроксимацията е компресирането на данни. Както и при други преобразувания, уейвлет преобразуванията може да се ползват за трансформации на данни, после кодиране на трансформираните данни, и в резултат имаме ефективно компресиране. Например, един известен стандарт за компресиране на изображения, ползващ биортогонални уейвлети е JPEG 2000. Това означава, че макар фрейма да е препълнен, той е един стегнат фрейм, (гл. напр. Фреймове или Векторно пространство), и същите функции на фрейма се използват, както за анализ и така и за синтез, т.е. и в правото и в обратното преобразуване(като се изключи спрегнатостта в комплексните уейвлети). За по-подробна информация в компресиране с уейвлети. В тази връзка се ползва и за изглаждане/обезшумяване на данни на базата на подбиране на праговите стойности на уейвлетните коефициенти, нарича се още свиване (shrinkage).

References[редактиране | edit source]

  1. WAVELET CONTRACTION, WAVELET EXPANSION, AND THE CONTROL OF SEISMIC RESOLUTION. // Geophysics 18 (4). 1953. DOI:10.1190/1.1437927.
  2. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing By Steven W. Smith, Ph.D. chapter 8 equation 8-1: http://www.dspguide.com/ch8/4.htm
  • Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics, 2002, ISBN 0-7503-0692-0
  • Ali Akansu and Richard Haddad, Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, Wavelets, Academic Press, 1992, ISBN 0-12-047140-X
  • B. Boashash, editor, "Time-Frequency Signal Analysis and Processing – A Comprehensive Reference", Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4.
  • Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen, Image Processing and Analysis – Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, Society of Applied Mathematics, ISBN 0-89871-589-X (2005)
  • Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2
  • Ramazan Gencay, Faruk Selcuk and Brandon Whitcher, An Introduction to Wavelets and Other Filtering Methods in Finance and Economics, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-279670-5
  • Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen, 69, pp 331–371, 1910.
  • Barbara Burke Hubbard, "The World According to Wavelets: The Story of a Mathematical Technique in the Making", AK Peters Ltd, 1998, ISBN 1-56881-072-5, ISBN 978-1-56881-072-0