Гаусов сноп

В оптиката, Гаусов сноп е сноп от електромагнитно лъчение, чието напречно разпределение на електричното поле и интензитета се описват от Гаусова функция. Много лазери излъчват снопове с Гаусов профил. В този случай казваме, че лазерът генерира основен (фундаментален) напречен мод или "TEM₀₀ мод" на лазерния оптичен резонатор. Когато Гаусов сноп с дадени параметри премине през леща, той се преобразува отново в Гаусов сноп, но с други параметри. От всички видове снопове генерирани от лазерите Гаусовият сноп има най малка разходимост. Това обяснява неговата популярност в лазерната физика и техника.

Математическата функция, която описва Гаусовия сноп е решение на параксиалната форма на уравнението на Хелмхолц. Решението във форма на Гаусова функция описва комплексната форма на електричното поле, което заедно с магнитното поле се разпространява във вид на електромагнитна вълна формираща лазерния сноп.

Математична форма

За Гаусов сноп коплексната амплитуда на електричното поле се дава от

$E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,$

където

$r$ е радиалното разстояние от центъра на снопа,

$z$ е аксиалното разстояние от точката, където снопът е най-тесен (шийката на снопа),

$i$ е имагинерна единица (за която $i^2 = -1$),

$k = { 2 \pi \over \lambda }$ е вълново число на разпространение на светлината в свободното простраство (в радиан/метър),

$E_0 = |E(0,0)|$,

$w(z)$ е радиусът, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e , а на интензитета до ниво 1/e² считано от техните величини на оста на снопа в точката z.

$w_0 = w(0)$ е радиусът на шийката, при който амплитудата на полето пада до ниво 1/e , а на интензитета до ниво 1/e², считано от техните величини на оста на снопа в точката z = 0 (вижте обясненията по долу).

Функциите $w(z)$, $R(z)$, и $\zeta(z)$ са параметри на снопа, които ще опишем по долу.

Пространственото разпределение на усреднения по времето интензитет е

$I(r,z) = \frac{\epsilon_0 c n}{2}|E(r,z)|^2 = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,$

където $I_0 = I(0,0)$ е интензитетът в центъра на шийката на снопа, n е показател на пречупване, за свободно пространство n=1.$\, \varepsilon_0$ е диелектричната проницаемост на вакуума.

Параметри на снопа

Поведението на Гаусовия сноп се дава от набор параметри на снопа, които са определени в параграфа по долу.

Радиус на снопа

За Гаусов сноп, разпространяващ се в свободното пространство, радиусът на снопа w(z) ще има минимална величина w₀ в една точка на лазерния сноп известна като шийка на снопа. За сноп от лъчение с дължина на вълната λ на разстояние z от шийката по посока на разпространение на снопа промяната на радиуса на снопа се дава от

$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_R} \right)}^2 } \ .$

където началото на оста z e взето да съвпада с мястото на шийката, и където

$z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$

се нарича Релеева дължина .

Релеева дължина и конфокален параметър

На разстояние от шийката равно на една релеева дължина z_R в двете посоки, радиусът w и диаметърът 2wна снопа са $\sqrt{2} \$ пъти по големи:

$w(\pm z_R) = w_0 \sqrt{2} \,$

Разстоянието между тези две точки от двете страни на шийката, където снопът е с два пъти по-голямо сечение се нарича конфокален параметър или дълбочина на фокусирането на снопа:

$b = 2 z_R = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .$

Радиус на кривина на фазовия фронт

R(z) е радиусът на кривина на фазовия фронт на снопа. Неговата величина като функция от позицията z е:

$R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_R}{z} \right)}^2 } \right] \ .$

Както се вижда от формулата, радиусът на кривина на фазовия фронт е безкрайност при z = 0 и z = ∞ и има минимална величина при z = z_R

$R(z=z_R) =2 z_R \ .$

Разходимост на снопа

Параметърът $w(z)$ може да се апроксимира с права линия когато сме в "далечното поле", т. е когато $z \gg z_R$. Ъгълът между правата линия и оста на снопа се нарича разходимост на снопа. Разходимостта се дава от формулата:

$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in\ radians.})$

Тази формула показва, че колкото е по-малка дължината на вълната, толкова е по-малка разходимостта на този сноп. От друга страна снопове с по-малка разходимост могат да бъдат фокусирани в по-малко петънце. Това е причината за големия интерес към сините лазери, с които може да се записва по-голям обем информация.

Пълната разходимост определя ъгловия диапазон, в който се разпространява снопа далече от шийката и е два пъти по голяма от определената от горната формула

$\Theta = 2 \theta\ .$

Заради разходимостта, Гаусовият лазерен сноп когато е фокусиран в малко петно се разширява след това в голям ъглов диапазон. За да бъде лазерният сноп колимиран на голямо разстояние неговият диаметър трябва да е голям.

Тъй като Гаусовия модел е валиден само в параксиално приближение, той не може да се приложи когато фазовия фронт е наклонен на ъгъл по-голям от 30⁰ отчитано от оста на снопа . От горния израз следва, че Гаусовият модел е валиден за снопове с шийки по- големи от 2λ/π.

Качество на лазерния сноп

Качеството на лазерния сноп се дава от така наречения М² метод. М² е пропорционално на разходимостта на снопа по радиуса на неговата шийка $w_0$. Отношението на М² на реален сноп към М² на идеален Гаусов сноп на същата дължина на вълната е количествена характеристика на качеството на снопа. М² на идеален Гаусов сноп е 1. Всички реални лазерни снопове имат М² > 1, най качествените снопове обаче, като тези получавани от He-Ne лазери имат големина на М² близка до едно.

Фаза на Гуи

Надлъжното фазово закъснение или Фазата на Гуи на даден Гаусов сноп е

$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_R} \right) \ .$

Комплексен параметър за описание на Гаусов сноп

Видяхме, че Гаусовия сноп в точката z се описва от два параметъра: радиуса w(z) и радиуса на кривината на фазовия фронт R(z). Удобно е тези два параметъра да се обединят в един коплексен параметър q(z), който се задава по следния начин:

${ 1 \over q(z) } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }$

Комплексният параметър q(z) играе важна роля при анализа на разпространението на Гаусови снопове през оптични системи и специално при анализа на лазерни оптични резонатори с помощта на апарата на матричната оптика.

Използвайки Гаусовия комплексен параметър q(z) едномерното Гаусово поле се представя по този начин:

${u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right)$.

Двумерното Гаусово поле което обхваща и случая на елиптични Гаусови снопове се описва от произведението:

${u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z)$,

В случая на най-често използвания Гаусов сноп с кръгова симетрия, където е валидно q_x = q_x = q и x² + y² = r² за полето се получава

${u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right)$.

Интензитетът на такъв Гаусов сноп с кръгова симетрия се дава от: I(r,z) = I₀|u(r,z)|²

Мощност и Интензитет

Мощност преминаваща през диафрагма

Мощността P на лазерен Гаусов сноп преминаващ през кръгова центрирана диафрагма с радиус r намираща се в точката z е

$P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,$

където

$P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2$

е пълната мощност на входния сноп. I₀ e пиковият интензитет на снопа в плоскостта на щийката.

За диафрагма с радиус $r = w(z) \,$, преминалата мощност е

${ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .$

Ако пък диафрагмата е с радиус $r = 1.224\cdot w(z) \,$ близо 95% от входната мощност ще премине през нея.

Пиков и среден интензитет

Пиковият интензитет на разстояние z от шийката се пресмята като граница на отношението на падащата мощност и площ $\pi r^2$ при радиус r клонящ към нула.

$I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.$

Получихме, че пиковият интензитет на Гаусов сноп е два пъти по-голям от средния интензитет I_av, който е равен на падащата мощност, разделена на площ с радиус $w(z)$.

$I_{av} ={P_0 \over \pi w^2(z)}.$

Вижте още

• en:Electromagnetic wave equation
• en:Hermite polynomials
• en:Laguerre polynomials
• en:Bessel beam
• en:Tophat beam
• en:Laser beam profiler

За по задълбочено изучаване

• Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York, John Wiley & Sons, 1991. ISBN 0-471-83965-5. Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge, Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-41711-2. Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.

• Siegman, Anthony E.. Lasers. University Science Books, 1986. ISBN 0-935702-11-3. Chapter 16.

• Yariv, Amnon. Quantum Electronics. 3rd Edition. Wiley, 1989. ISBN 0-471-60997-8.

• F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. // arXiv:physics/0410021. 2004.

• Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot

• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport

Външни препратки

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Gaussian beam“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.