Генерация на втора хармонична

Генерация на втора хармонична (ГВХ) или наричана още удвояване на честотата е нелинейно оптичен процес, при който фотоните взаимодействащи с нелинейната среда се преобразуват във фотони с два пъти по голяма енергия. На честотен език това означава, че електромагнитно лъчение с честота $\omega$ се преобразува в лъчение с честота 2$\omega$. Ако предпочитаме да ползваме дължина на вълната за описание на този процес то следва, че при генерацията на втора хармонична, лъчение с дължина на вълната $\lambda$ се преобразува в лъчение с двойно по-малка дължина на вълната $\lambda$/2. Английският термин за този нелинейно оптичен процесс е Second harmonic generation (SHG).

Описание на генерацията на втора хармонична

Да разгледаме процеса на генерация на втора хармонична, при който част от основното лъчение се преобразува в лъчение с втора хармонична честота. Общото поле E в нелинейната среда е сума от двете полета: полето на основната (входна) честота $\omega_1$

$E_1(t,z) = \frac{1}{2}[A_1 e^{i (\omega_1 t-k_1 z)} + A_1^* e^{-i (\omega_1 t-k_1 z)}]$,

и полето на втората хармонична с честота $\omega_2$=2$\omega_1$

$E_2(t,z) = \frac{1}{2}[A_2 e^{i (\omega_2 t-k_2 z)} + A_2^* e^{-i (\omega_2 t-k_2 z)}]$,

като в дадения случай сме пренебрегнали наличието на други полета в средата смятайки ги за слаби.

поляризацията на средата P трепти на много честоти $\omega_1$ , 2$\omega_1$, 3$\omega_1$, $\omega_2$ , 2$\omega_2$, $\omega_1+\omega_2$ и т. н., но ние ще търсим само тази компонента на поляризацията, която трепти на честотата на втората хармонична. Тя има вида:

$P_{NL} (2\omega_1)= \varepsilon_0 \chi^{(2)} {(E_1+E_2)^2} = \frac{\varepsilon_0 }{4}\chi^{(2)} A_1^2 e^{i (2\omega_1 t-2k_1 z)}$,

където ${\chi^{(2)}}$ e квадратичната нелинейна възприемчивост, която в най общ вид е тензор от трети ранг. Видът на този тензор (ненулевите компоненти и съотношенията между тях) зависи от точковата група на симетрия на нелинейната среда.

Вълновото уравнение на честотата 2$\omega_1$ в приближение на бавно изменяща се амплитуда на плоски вълни и при пренебрегване на евентуални загуби е:

$i k_2\frac{d A_2}{d z} e^{i (\omega_2 t-k_2 z)} =\frac{(2\omega_1)^2}{\varepsilon_0 c^2} P(2\omega_1)$.

Като заместим израза за поляризацията $P_{NL}(2\omega_1)$ получаваме

$\frac{d A_2}{d z} =-i \frac{\omega_1 d_{eff} }{ c n_2} A_1^2 e^{i \Delta k z}$,

където $\Delta k = k_2-2k_1$, a

$d_{eff}= \frac{1}{2} \left\langle e_2 \chi^{(2)} e_1 e_1 \right\rangle$

е конволюция на тензора $\chi^{(2)}$ с поляризационните вектори на трите вълни (двете основни и втората хармонична). T. e. $d_{eff}$ е константа зависеща, както от посоката на разпространение на основната вълна и вълната на втората хармонична, така и от вида на вълните — дали са обикновени или необикновени (за подробен извод вижте F. Zernike, J.E. Midvinter, Applied Nonlinear Optics, 1973).

При метода на квазифазов синхронизъм (QPM) често и двете вълни основната и втората хармонична са поляризирани по оста Z (т.е те са необикновени) и тогава

$d_{eff}= \frac{2}{\pi m} d_{zzz}= \frac{2}{\pi m} d_{33}$ ,

където $m$ е порядъкът на квазифазов синхронизъм. За предпочитане е да се работи с $m =1$ , когато ефективността на преобразуване във втора хармонична ще е най- голяма.

При ниски коефициенти на преобразуване, $A_2(z)<<A_1(z)$, амплитидата на основната вълна $A_1(z)$ e практически константа по цялата дължина на взаимодействие, $L$. Тогава при начални условия $A_2(z=0)=0$ се получава:

$A_2(L)=-\frac{i\omega_1 d_{eff}}{n_{2\omega}c}A_1^2\int_0^L{e^{i\Delta k z}}=-\frac{i\omega_1 d_{eff} }{n_{2\omega}c}A_1^2L\frac{\sin{\Delta k L/2}}{\Delta k L/2}e^{i\Delta k L/2}$.

Или изразено чрез интензитетите на двете вълни, $I=\frac{n\epsilon_0 c}{2}|A|^2$ стигаме до

$I(2\omega,L)=\frac{2\omega^2d^2_{eff}}{n_{2\omega}n_{\omega}^2c^3\epsilon_0}\left(\frac{\sin{(\Delta k L/2)}}{\Delta k L/2}\right)^2I^2(\omega)L^2$.

Интензитетът на втората хармонична става максимален, когато имаме фазов синхронизъм (ФС), а именно когато $\Delta k=0$. Ако процесът не е синхронен (без фазов синхронизъм) поляризацията на удвоената честота $2\omega_1$ е ту във фаза, ту в противофаза спрямо генерираната втора хармонична $A_2(z)$ и ефективността осцилира като $\sin{(\Delta k L/2)}^2$. Кохерентната дължина на тези осцилации се дефинира по този начин $L_{coh}=\pi/\Delta k$. Ако не се вземат специални мерки да се получи фазов синхронизъм, $L_{coh}$ e от порядъка на няколко микрометра, ефективността е много ниска и дължината на кристала не играе никакво значение в този случай. За добра ефективност на процеса на ГВХ е необходимо постигането на фазов синхронизъм. Известните методи за получаване на фазов синхронизъм са методът на двулъчепречупването за ФС и методът на квазифазов синхронизъм.

За по задълбочено запознаване

Книги:

• Robert W. Boyd, Nonlinear optics, Chapter 2, Second edition, Academic press, (2003).

• F. Zernike, J.E. Midvinter, Applied Nonlinear Optics, New-York, John Wiley, (1973).

• Генерация на втора хармонична на лазерно лъчение в "Практикум по квантова електроника и лазерна техника". Автори: Г. Георгиев, С. Салтиел, 3-то издание. Издател: ИК "Св. Климент Охридски", 2004 г. ISBN 9540719712

Други източници:

• UFO08Second-ordereffects. // Лекция от курса по Нелинейна оптика (R. Trebino).

• Frequency doubling. // Encyclopedia of laser physics and technology.