Група на Хайзенберг

Групата на Хайзенберг е група, состояща се от квадратни матрици от вида

{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},

където елементите a, b, c принадлежат на комутативен пръстен с единица.

Най-често пръстенът R е:

пръстенът на реалните числа $R=\mathbb {R}$ – така наречената непрекъсната група на Хайзенберг, означава се с $H_{3}(\mathbb {R} )$ , или
пръстенът целите числа $R=\mathbb {Z}$ – така наречената дискретна група на Хайзенберг, означава се с $H_{3}(\mathbb {Z} )$ , или
пръстенът от остатъци $R=\mathbb {Z} _{p}$ с просто число p – групата се означава с $H_{3}(\mathbb {Z} _{p})$ .

Носи името на Вернер Хайзенберг, който е използвал тази група в квантовата механика.

Групата на Хайзенберг се обощава при произволна размерност.

Группа на Хайзенберг $H_{n+2},\ n\geq 1,$ се състои от квадратни матрици от ред n+2:

{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&E_{n}&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},

където $\,E_{n}$ – е единична матрица от ред n и $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ – вектор-ред, $b=(b_{1},\ldots ,b_{n})^{*}$ — вектор-стълб, елементите $\,a_{i},b_{i},c$ принадлежат на комутативен пръстен с единица.