Гъсто множество

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Гъсто множество е термин в топологията и свързаните области на математиката. Едно подмножество A на топологичното пространство X се нарича гъсто (в X) ако всяка точка от X може да бъде „добре апроксимирана“ с точки от A. Формално, A е гъсто в X, ако \forall x\in X произволна околност на X съдържа поне една точка от A.

С други думи, A у гъсто в X ако единственото затворено подмножество на X, съдържащо A е самото X. Казано по трети начин, обвивката на A е X, или вътрешността на допълнението на A е празното множество.

Гъстота на метрични пространства[редактиране | edit source]

Алтернативна дефиниция на гъсто множество в случая на метрично пространство е следната: Множеството A в метричното пространство X е гъсто ако всяко x от X е граница на редица от елементи в A. Наистина, когато топологията на X е зададена чрез метрика, затворената обвивка \bar{A} на A в X е множеството от всички граници на елементите в A,

\bar{A} = \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}.