Гъсто множество

Гъсто множество е термин в топологията и свързаните области на математиката. Едно подмножество $A$ на топологичното пространство $X$ се нарича гъсто (в $X$) ако всяка точка от $X$ може да бъде „добре апроксимирана“ с точки от $A$. Формално, $A$ е гъсто в $X$, ако $\forall x\in X$ произволна околност на $X$ съдържа поне една точка от $A$.

С други думи, $A$ у гъсто в $X$ ако единственото затворено подмножество на $X$, съдържащо $A$ е самото $X$. Казано по трети начин, обвивката на A е X, или вътрешността на допълнението на A е празното множество.

Гъстота на метрични пространства

Алтернативна дефиниция на гъсто множество в случая на метрично пространство е следната: Множеството A в метричното пространство X е гъсто ако всяко x от X е граница на редица от елементи в A. Наистина, когато топологията на X е зададена чрез метрика, затворената обвивка $\bar{A}$ на A в X е множеството от всички граници на елементите в A,

$\bar{A} = \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}.$