Декартов лист

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Декартов лист

Декартов лист е вид равнинна алгебрична крива, с уравнение в декартови координати:

 x^3 + y^3 = 3 a x y при a \ne 0

и в полярни координати:

 r = \frac{\sin 2\varphi}{sin^3\varphi + cos^3\varphi} ,

където \varphi e ъгълът между радиус-вектор към точка от кривата и абсцисната ос.

Декартовият лист има параметрично представяне:

 \begin{cases}
x = \frac{3at}{1+t^3} \\
y = \frac{3at^2}{1+t^3}
\end{cases} ,

където t е тангенсът на ъгъла между радиус-вектора и абсцисната ос.

Кривата е симетрична относно правата y = x. Ролята на нейна асимптота играе правата g = -x - a. В точка O декартовият лист има двойна точка и допирателните в нея са координатните оси.

Лицето на областта, заградено от примката, е равно на лицето на областта между кривата и асимптотата. Заедно те са равни на  S = \frac{3}{2}a^2 .

Декартовият лист е частен случай при  n = 0 на по-широк клас криви с уравнение  x^3 + y^3 = 3axy - n. При  n < 0 кривата се разпада на две части, като примката се обособява в отделна затворена равнинна крива, а при  n > 0 примката и точката на самопресичане изчезват.[1]

Кривата е въведена и първо изследвана от Рене Декарт през 1638 г., става известна от кореспонденция между Декарт и Ферма. Декарт е изследвал основно примката, а пълната форма на кривата е определена през 1692 г. от Кристиан Хюйгенс и Йохан Бернули. Декарт използва названието "лист" (feuille), а названието "Декартов лист" е наложено от Даламбер.

Вижте също[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  1. Декартов лист в електронния учебник по диференциална геометрия на проф. Г. Станилов, ФМИ-СУ
  • "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  • "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
  • "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984

Външни препратки[редактиране | edit source]