Диференчно уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Диференчното уравнение е апарат в математиката, който служи са изследване или описване на промяната на естествени явления по отношение на времето.

Класификация[редактиране | edit source]

Ако дадена популация притежава дискретни поколения, размерът на (n+1) -то поколение u(n+1) е функция на n-тото поколение. Такъв тип връзка се изразява чрез диференчното уравнение


u(n+i)=f(u(n+i-1),u(n+i-2),...,u(n)),

където при зададена функция f и неизвестни u_{k} за k\in\mathbb{N} (\mathbb{N} е множеството на естествените числа) се нарича диференчно уравнение от i-ти ред. Когато уравнението е от вида


x(i)u(n+i)+x(i-1)u(n+i-1)+...+x(0)u(0)=y при x(0)x(i) \ne 0

то се нар. линейно диференчно уравнение, като съответно при

  • y=0 се нар. линейно хомогенно диференчно уравнение,
  • y\ne 0 се нар. линейно нехомогенно диференчно уравнение.

В зависимот от това дали коефициентите и дясната му част зависят или не от n, то се нар. съответно уравнение с променливи или с постоянни коефициенти.


Употреба[редактиране | edit source]

Диференчните уравнения могат да се разглеждат като аналог на диференциалните и функционално-диференциалните уравнения или самостоятелно. Използват се за апроксимация на диференциални оператори, за решаване на математически задачи с рекурентни зависимости, при построяване на различни дискретни модели в биологията, екологията, физиката, техниката и икономиката.

Диференчните уравнения могат да възникнат по много начини. Те могат да бъдат

В някои биологични ситуации растежът на популаията е непрекъснат процес и поколенията се препокриват, докато в други растежът на популацията заема място в дискретни интервали от време и поколенията са напълно непрепокриващи се. Някои от най-простите подобни нелинейни диференчни уравнения показват забележителен спектър на динамичното поведение. Тази богата динамична структура е разгледана в общоприетите линеализирани и устойчиви анализи. Нейното съществуване в най-простите и напълно определени нелинейни ("зависещи от гъстотата") диференчни уравнения са обект на значителен математически и екологичен интерес.

Диференчните уравнения без отклонение във времето водят до много проста динамика, докато тези със отклонения във времето относно регулаторните механизми , могат да имат сложни динамични структури, които са обект на дискусии в математиката.

Крайните диференчни неравенства за функция на една или две променливи, чрез които се получават оценки имат фундаментална роля в изучаването на ограниченост, единственост на решението, непрекъсната зависимост от началните условия и др. на решенията на диференчните уравнения.

Диференчни уравнения с максимуми[редактиране | edit source]

Специален вид диференчни уравнения е този, който включва максимума на изучаваната функция върху отминал интервал от време. В резултат на това тези уравнения имат важна роля в теорията на диференчните уравнения и се наричат диференчни уравнения с максимуми. Операторът на максимума възниква естествено в някои модели, които се използват в автоматичния контрол. Диференчните уравнения с максимуми не са добре изучени все още. В общия случай те се характеризират от две основни части

  • пъра част - диференчното уравнения,
  • втора част - максимума на неизвестната функция.

Втората част разширява значително сферата на диференчните уравнения с максимуми на неизвестната функция u(n), поради факта, че нейният максимум може да бъде взет

  • върху интервал с фиксирана дължина \max_{\xi\in\mathbb{Z}_{[n-h,n]}}u(\xi), където h=constant и \mathbb{Z}_{[h-h,n]} е множеството на целите числа от n-h до n, включително;
  • върху интервал с променлива дължина \max_{\xi\in\mathbb{Z}_{[\sigma(n),\tau(n)]}}u(\xi), където \sigma(n) \leq \tau(n) \leq n и \mathbb{Z}_{[n-h,n]} е множеството на целите числа от n-h до n, включително;
  • върху няколко интервала с фиксирана или променлива дължина.

Източници[редактиране | edit source]

  1. Agarwal R., Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Applications, CRC Press, 2000.
  2. Elaydi S., Introduction to Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Applications, CRC Press, 2000.
  3. Бояджиев Д., Гочева-Илива С., Попова Л., Ръководство по числени методи II част, Деметра ЕООД, София, 2012, ISBN 978-954-9526-79-0