Ермитов полином

Под n-ти ермитов полином ($n=0,1,2,...$) се разбира

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n e^{-x^2}}{\mathrm{d}x^n}.$

Свойства

• Ермитовите полиноми са решение на рекурсията:

$H_{0}(x)=1,\,$

$H_{1}(x)=2x,\,$

$H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-2nH_{n-2}(x), \quad n>1.\,$

• Те са решение и на диференциалните уравнения:

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}+2ny=2x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x},\quad n\geq 0.$