Естествено число

В математиката естествено число е цяло положително число (1,2,3,...,n,...).

Естествените числа се използват при броенето („На масата има 3 ябълки.“) и при номерацията („Той завърши на 3-то място“).

Записване

Математиците използват N за представяне множеството на естествените числа. По определение това множество е безкрайно и изброимо. За да се избегне объркването дали нулата се включва или не, се използват следните записвания:

• за целите положителни числа:
  • N или $\mathbb{N}$
  • Z⁺ или $\mathbb{Z}^{+}$

• за целите неотрицателни числа:
  • N⁰ или $\mathbb{N}^{0}$
  • Z⁺₀ или $\mathbb{Z}^{+}_{0}$, където $\mathbb{Z}$ е множеството на целите числа.

По конвенция в математическата литература и по-специално в теорията на числата, под $\mathbb{N}$ се разбира $\mathbb{Z}^{+}$, докато в логиката, теорията на множествата и информатиката $\mathbb{N}$ често означава $\mathbb{N}^{0}$.

Математическо определение

Следва точно математическо определение на естествените числа, предложено от Джузепе Пеано през 1889. Тези изказвания са познати като аксиоми на Пеано.

• 0 не е естествено число.
• Всяко естествено число a има наследник a+1, който е също естествено число.
• Няма естествено число, чийто наследник е 0.
• Ако две естествени числа са различни, тогава и наследниците им са различни: ако a≠b, тогава a+1≠b+1.
• Ако за едно подмножество на естествените числа A важи: 0 ∈ A и за всяко a ∈ A важи a+1 ∈ A, то множеството A е равно на множестовото на естествените числа (Тази аксиома осигурява правилността на математическата индукция като доказателствен метод).

В теорията на множествата се използва следната конструкция на естествените числа, предложена от Джон фон Нойман:

• 0 := {}
• 1 := {0} = {{}}
• 2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
• 3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
• .
• .
• n+1 := {0, 1,..., n} = n U {n}

Всяко от естествените числа се представя като мощността на съответното множество.

Според това определение множеството n съдържа точно n елемента и n ≤ m тогава и само тогава, когато n е подмножество на m.

Въпреки че тази конструкция е доста удачна, тя не е единствената възможна. Например:

• 0 := {}
• n+1 := {n}

Тогава 1 := {0} = {{}}, 2 := {1} = {{{}}} и т.н.

Основни свойства

• Комутативност на събирането: a + b = b + a.
• Комутативност на умножението: ab = ba.
• Асоциативност на събирането: (a + b) + c = a + (b + c).
• Асоциативност на умножението: (ab)c = a(bc).
• Дистрибутивност на умножението относно събирането: a(b+c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.

Вижте също

• Цяло число
• Рационално число
• Реално число