Естествено число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката естествено число е цяло положително число (1,2,3,...,n,...).

Естествените числа се използват при броенето („На масата има 3 ябълки.“) и при номерацията („Той завърши на 3-то място“).

Записване[редактиране | edit source]

Математиците използват N за представяне множеството на естествените числа. По определение това множество е безкрайно и изброимо. За да се избегне объркването дали нулата се включва или не, се използват следните записвания:

  • за целите положителни числа:
    • N или \mathbb{N}
    • Z+ или \mathbb{Z}^{+}
  • за целите неотрицателни числа:
    • N0 или \mathbb{N}^{0}
    • Z+0 или \mathbb{Z}^{+}_{0}, където \mathbb{Z} е множеството на целите числа.

По конвенция в математическата литература и по-специално в теорията на числата, под \mathbb{N} се разбира \mathbb{Z}^{+}, докато в логиката, теорията на множествата и информатиката \mathbb{N} често означава \mathbb{N}^{0}.

Математическо определение[редактиране | edit source]

Следва точно математическо определение на естествените числа, предложено от Джузепе Пеано през 1889. Тези изказвания са познати като аксиоми на Пеано.

  • 0 не е естествено число.
  • Всяко естествено число a има наследник a+1, който е също естествено число.
  • Няма естествено число, чийто наследник е 0.
  • Ако две естествени числа са различни, тогава и наследниците им са различни: ако ab, тогава a+1≠b+1.
  • Ако за едно подмножество на естествените числа A важи: 0 ∈ A и за всяко aA важи a+1 ∈ A, то множеството A е равно на множестовото на естествените числа (Тази аксиома осигурява правилността на математическата индукция като доказателствен метод).

В теорията на множествата се използва следната конструкция на естествените числа, предложена от Джон фон Нойман:

  • 0 := {}
  • 1 := {0} = {{}}
  • 2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
  • 3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
  • .
  • .
  • n+1 := {0, 1,..., n} = n U {n}

Всяко от естествените числа се представя като мощността на съответното множество.

Според това определение множеството n съдържа точно n елемента и nm тогава и само тогава, когато n е подмножество на m.

Въпреки че тази конструкция е доста удачна, тя не е единствената възможна. Например:

  • 0 := {}
  • n+1 := {n}

Тогава 1 := {0} = {{}}, 2 := {1} = {{{}}} и т.н.

Основни свойства[редактиране | edit source]

  • Комутативност на събирането: a + b = b + a.
  • Комутативност на умножението: ab = ba.
  • Асоциативност на събирането: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Асоциативност на умножението: (ab)c = a(bc).
  • Дистрибутивност на умножението относно събирането: a(b+c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca.

Вижте също[редактиране | edit source]