Изолирана точка

"0" is an isolated point of A

В топологията елемент $a\in\mathcal{A}\subset\mathcal{X}$ в топологично пространство $(\mathcal{X},T)$ се нарича изолирана точка на $\mathcal{A}$, ако съществува отворено множество $\mathcal{O}_a\in T: \mathcal{O}_a \cap \mathcal{X}=\{a\}$. От дефиницията следва непосредствено, че един елемент е изолирана точка тогава и само тогава, когато не е точка на сгъстяване.

В едно метрическо пространство $(\mathcal{X},d)$ точката $a\,$ се нарича изолирана, ако съществува $\varepsilon$-околоност $A_\varepsilon=\{x|x\in\mathcal{X};d(x,a)<\varepsilon\}$ на $a\,$ , за която $A_\varepsilon\cap\mathcal{X}=\{a\}$.

Примери

1. В множеството $A=\{0\}\cup [1, 2]$ числото 0 е изолирана точка.
2. В множеството $A=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}$ всеки елемент $1/n$ е изолирана точка, с изключение на нулата.
3. В множеството на естествените числа $N=\{0, 1, 2, \dots\}$ всички точки са изолирани.

(В примери 1.-3. се подразбира, че е избрана евклидовата метрика.)