Изолирана точка

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
"0" is an isolated point of A

В топологията елемент a\in\mathcal{A}\subset\mathcal{X} в топологично пространство (\mathcal{X},T) се нарича изолирана точка на \mathcal{A}, ако съществува отворено множество \mathcal{O}_a\in T: \mathcal{O}_a \cap \mathcal{X}=\{a\}. От дефиницията следва непосредствено, че един елемент е изолирана точка тогава и само тогава, когато не е точка на сгъстяване.

В едно метрическо пространство (\mathcal{X},d) точката a\, се нарича изолирана, ако съществува \varepsilon-околоност A_\varepsilon=\{x|x\in\mathcal{X};d(x,a)<\varepsilon\} на a\, , за която A_\varepsilon\cap\mathcal{X}=\{a\}.

Примери[редактиране | edit source]

  1. В множеството A=\{0\}\cup [1, 2] числото 0 е изолирана точка.
  2. В множеството A=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \} всеки елемент 1/n е изолирана точка, с изключение на нулата.
  3. В множеството на естествените числа N=\{0, 1, 2, \dots\} всички точки са изолирани.
(В примери 1.-3. се подразбира, че е избрана евклидовата метрика.)