Икосаедър

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Тази статия е за платоновото тяло. За многостена по броя на стените вижте Двадесетостен.

Правилен икосаедър

Икосаедърът (на старогръцки: εἴκοσι - 20 и на старогръцки: ἕδρον - основа) е платоново тяло и делтаедър. Той има 20 триъгълни стени, 12 върха и 30 ръба. Дуалният многостен е додекаедър.

Правилният икосаедър е частен случай, при който всички негови стени са равностранни триъгълници. При него връхната фигура е правилен петоъгълник.

При дължина на ръба a, площта S, обемът V, радиусите на вписаната и описаната сфери, съответно r и R, се дават с формулите:

площ: S=5a^2\sqrt3

обем: V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3

радиус на вписаната сфера: r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a

радиус на описаната сфера: R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a

Икосаедър вписан в куб

Икосаедър може да се впише в куб, така че всичките му върхове, общо 6 двойки, да лежат върху шестте стени. При това могат лесно да се съобразят стойностите за техните координати:

 (\pm \varphi, \pm 1, 0)\,,\quad (\pm 1, 0, \pm\varphi)\quad \text{,}\quad (0,\pm\varphi, \pm 1)

като φ означава стойността на златното сечение, т.е. (1+√5)/2 ,а дължината на ръбовете е приета за 2.

Звездовидни икосаедри[редактиране | edit source]

Тринадесет стелации на икосаедъра

Източникът е Петдесет и деветте икосаедъра.

История[редактиране | edit source]

Традиционно откритието или изобретяването на икосаедъра се приписва на древногръцкия математик Теетет. Основание за това дава първото пояснение (схолия) към кн. 13 на 'Елементи'. Автентичността на текста в това място обаче подлежи на съмнение[1]. Спекулира се дали по-рано икосаедърът не е бил известен в древен Египет. За разлика от додекаедъра, който се разпознава в минерални образувания, икосаедърът не е имал естествен първообраз. Вируси и микроорганизми имат икосаедрична (или псевдоикосаедрична) форма, също както атомни клъстери на елемента бор, но те са ненаблюдаеми с невъоръжено око.

Източници[редактиране | edit source]

  1. Евклид, Елементи, София: Наука и Изкуство, 1972