Индекс на Милър

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Индекси на Милър при някои плоскости на кубичните кристали

Кристалографският индекс на Милър е система за означаване на разположението на кристалните плоскости в пространството. Всяка кристална форма се състои от симетрично разположени еквивалентни стени, съответстващи на атомни мрежи в триизмерната пространствена решетка, която от своя страна се определя най-общо чрез елементарна клетка с ребра и междуребрени ъгли. Индексът на Милър представлява група от цифри, определящи разположението на атомните плоскости и еквивалентните стени в кристалната решетка по отношение на избрана координатна система, която не винаги е декартова. В частност положението на плоскостите на кристалната решетка се определят от три цели числа, приети условно като h, k и l, затворени в кръгли скоби (hkl) и наречени индекс на Милър - например (001) (110) (102). Ориентацията на тези плоскости може да бъде определена чрез координатите на точките, в които те се пресичат с основните кристалографски оси на твърдото тяло.[1][2]

  • Записани в кръгли скоби (hkl) означават индекс на Милър за единична плоскост от кристалната решетка.
  • Записани в големи скоби {hkl} означават индекс на Милър за съвкупността от всички равностойни плоскости на кристалната решетка, успоредни една на друга, т.е. изразява простата кристалографска форма.
  • Записани в квадратни скоби [hkl] характеризират направлението на ребрата, съответстващи на атомните редици в кристалната структура. Изразяват посоката на вектора на тези ребра и са изчислени на базата на обикновени, а не реципрочни стойности. Трите числа, затворени в квадратни скоби се наричат индекс (параметри) на Вайс.[3][4] Квадратни скоби се използват още и при обозначаване на ръбовете на кристалните форми.[2][5]

Когато кристалната решетка се характеризира с четирираменен осен кръст (при тригонална и хексагонална сингония, моноклинни и триклинни кристали), индексът на Милър се изразява с четири цифри, затворени в кръгли скоби - съответно за стена и проста кристалографска форма, например (0001).[6] При тях първите три оси не са самостоятелни, а взаимно свързани, а от тук това се отнася и до първите три цифри в индекса.[3]

Индексът на Милър е въведен през 1839 г. от британския минералог и кристалограф Уилям Милър.[7]

Определяне на индекса на Милър[редактиране | edit source]

Индекси на Милър

При изчисляване индекса на Милър за една кристална решетка се извършват следните стъпки:

  • Намират се точките на пресичане на плоскостта на кристалната решетка с осите X, Y и Z от координатната система.
  • Взимат се реципрочните стойности на координатите на тези точки.
  • Преработват се до начин, удобен за ползване, като вместо тях за стойности на индекса се приемат най-малките цели числа, отговарящи на математическите отношения между тези реципрочни стойности.[8]

Съществуват няколко варианта на пресичане на осите на координатната система от плоскостите на кристалната решетка.[6]

  • Пресичане само на една от осите
  • Пресичане на две от осите. Стени, които са успоредни на една от кристалографските оси се обозначават като призматични стени.
  • Пресичане и на трите оси. Стените, които пресичат и трите кристалографски оси се наричат пирамидални стени.
  • Пресичане на равни разстояния от началото на координатната система
  • Пресичане на различни разстояния от началото на координатната система.[5]

Индекс на Милър при кубична кристална решетка[редактиране | edit source]

Плоскости на кристалната решетка, успоредни на осите Y и Z[6]

Плоскост на кристалната решетка, успоредна на осите Y и Z

Най-простият вариант се получава, когато се разгледа кубична кристална решетка, на която една от плоскостите е успоредна на осите Y и Z. В такъв случай тя пресича оста X в точка A, а останалите две оси Y и Z - в безкрайността, тъй като плоскостта е успоредна на техните направления. Следователно пресичането на плоскостта на кристала с координатните оси става в точките A, \infty и \infty. Винаги има кристална плоскост, успоредна на разглежданата, която пресича оста X в точка на разстояние 1 от началото на координатната система. Индексът на Милър се получава като се вземат реципрочните стойности на това пресичане, т.е.

Пресичане на плоскостта - \frac{1}{1} : \frac{1}{\infty} : \frac{1}{\infty}. Тъй като \frac{1}{1} = 1, а \frac{1}{\infty} = 0

за индекса на Милър се получава (1,0,0) и се записва като (100) в кръгли скоби.


Плоскости на кристалната решетка, успоредни на осите X и Y.[6]

Плоскост на кристалната решетка, успоредна на осите X и Y

Когато плоскостта на кристалната решетка е успоредна на направленията на осите X и Y, то тя пресича оста Z в точка на разстояние 1 от началото на координатната система, а осите X и Y - в безкрайността. Следователно пресичането на плоскостта на кристала с координатните оси става в точките \infty, A и \infty. Аналогично на горния пример, отношението между реципрочните стойности на това пресичане са:

\frac{1}{\infty} : \frac{1}{\infty} : \frac{1}{1}. И тъй като \frac{1}{1} = 1, а \frac{1}{\infty} = 0, а самото пресичане става в точките ( 0,0,1)

за индекса на Милър се получава (001).


Плоскости на кристалната решетка, успоредни на осите X и Z.[6]

Плоскост на кристалната решетка, успоредна на осите X и Z
Плоскости на кристалната решетка, успоредни на осите X и Z

Ако плоскостта на кристалната решетка е успоредна на направленията на осите X и Z, тя ги пресича в безкрайността, а оста Y - в точка на разстояние 1 от началото на координатната система. Тогава, аналогично на горните два примера, индексът на Милър се получава (010)

Плоскости на кристалната решетка, успоредни само на една от осите.[6]

Плоскост на кристалната решетка, успоредна на оста Z
Плоскост на кристалната решетка, успоредна на оста Х

Когато плоскостта на кристалната решетка е успоредна на оста Z и пресича осите Х и Y на равни разстояния, винаги ще има плоскост, при която тези равни разстояния са единица. В този случай пресичането на осите става в точки с координати по Х - (1,0,0), по Y - (0,1,0) и по Z - в \infty, то техните реципрочни стойности стават

X = 1\,, Y = 1\,, Z = 0\,. Тяхното отношение става 1\, : 1\, : 0\,

В такъв случай индексът на Милър се изразява с цифрите (110), затворени в кръгли скоби.

Аналогично, ако плоскостта на кристалната решетка пресича на равни разстояния осите Х и Z и е успоредна на оста Y, за индекс на Милър се получава (101). А ако пресича на равни разстояния осите Y и Z и е успоредна на оста Х, индексът на Милър се изразява с цифрите (011)

Плоскости, пресичащи на равни разстояния и трите оси.[6]

Плоскост на кристалната решетка, пресичаща на равни разстояния осите Х, Y и Z

Възможно е плоскостта на кристалната решетка, или успоредна на нея, да пресича едновременно и трите координатни оси и то на равни разстояния от началото на координатната система. Тогава точката на пресичане по оста Х има координати (1,0,0), по Y - (0,1,0) и по Z - (0,0,1). В този случай, базирайки се на казаното дотук, индексът на Милър се получава (111).

Повърхностите с индекси (001), (010), (100), (011), (101), (011) и (111) се наричат повърхности с нисък индекс при кубичната кристална система. Такива са всички кристални плоскости, при които индексът на Милър съдържа само единици и нули.

Плоскости, пресичащи на различни разстояния и трите оси.[4]

Плоскост на кристалната решетка, пресичаща на различни разстояния и трите оси

В най-общия случай плоскостта на кристалната решетка пресича и трите оси на координатната система на различни разстояния. В случая координатите на пресечните точки са: по оста Х - (1,0,0), по оста Y - (0,2,0) и по оста Z - (0,0,3) Тъй като индексът на Милър се получава от реципрочните стойности на координатите на тези точки, то за конкретния случай, илюстриран на схемата вляво, бихме получили

\frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} След привеждане под общ знаменател се получава \frac{6}{6} : \frac{3}{6} : \frac{2}{6}

Най-малките цели числа, които имат същото отношение помежду си са 6:3:2, определят и индекса на Милър за съответната кристална плоскост на (632).

Когато индексите на дадена кристална форма са представени с числа по-големи от 9, те се отделят с точки, например (8.12.2).[5]

Плоскости, пресичащи осите на разстояния, по-малки от 1.[6]

Плоскости на кристалната решетка, пресичащи осите на разстояния < 1

Има случаи, когато кристалната плоскост пресича координатните оси на разстояние по-малко от единица. Например при плоскост, която пресича оста Х на разстояние 2/3 от началото на координатната система, пресича Y на разстояние 1, а оста Z на разстояние 1/3. В този случай реципрочните стойности са:

\frac{3}{2} : \frac{1}{1} : \frac{3}{1} След привеждане под общ знаменател се получава \frac{3}{2} : \frac{2}{2} : \frac{6}{2}

Най-малките цели числа, които имат същото отношение помежду си са 3:2:6 и определят индекса на Милър за съответната кристална плоскост на (326).[6]

Поради симетрията на кубичните кристали индексът на Милър за някои плоскости съдържа кратни едно на друго числа. В тези случаи той може да бъде опростен чрез обикновено съкращаване на числата. Например индексите (200) и (100) са идентични, тъй като се отнасят за успоредни една на друга плоскости.[4]

Плоскости, пресичащи осите в областта на отрицателни стойности на координатната система.[4]

Плоскост на кристалната решетка, пресичаща отрицателна стойност по оста Y
Плоскост на кристалната решетка, пресичаща отрицателна стойност по оста X

Когато кристалните плоскости пресичат една или няколко оси от координатната система в отрицателната им част, съответните цифри от индекса на Милър също получават отрицателни стойности. В илюстрирания на схемата вляво случай отрицателна стойност (-1) имаме по оста Y, а по осите Х и Z стойностите са (+1). В този случай в индекса на Милър трябва да се запишат числата (1,-1,1) и той придобива следния вид: (111), като минусът се записва вместо пред, над съответната цифра.

В примера на дясната схема кристалната плоскост пресича оста X в отрицателната ѝ част. При нея за индекс на Милър се получава (111).

Индекс на Милър при хексагонални и ромбоедрични структури[9][редактиране | edit source]

Индекс на Милър при хексагонална или ромбоедрична структура

За удобство при кристали с хексагонална и тригонална сингония към триосната координационна система се добавя четвърта координатна ос, маркирана обикновено с u, която сключва равни ъгли от 120° (2π/3) с осите x и y и е перпендикулярна на хексагоналната ос z. Осите x, y и u лежат върху повърхнината на шестоъгълната основа, а оста z е перпендикулярна на всяка една от тях. По координатната ос x за индекса на Милър се отчита стойността h, по y - стойността k, по u - стойността i и по z - стойността l. В тази четириосна система (x,y,z,u) всяка стена от елементарната кристална клетка пресича координатните оси, отсичайки от тях различни части. На базата на тази система в индекса на Милър се въвеждат вместо три, четири цифри и той придобива следния вид - (h k i l) като сборът от първите две цифри трябва да е равен на отрицателната стойност на третата цифра:

h+k+i=0\, или h+k=-i\,

При този случай h, k и l са обикновените индекси на Милър, а i се явява като допълнителен индекс.[5]

Равнината на дадената схема пресича оста x в точка P на разстояние 1\,, оста y - в точка Q също на разстояние 1\,, оста u в точка S на разстояние —-\frac{1}{2} и оста z в точка R на разстояние \frac{1}{2}. Стойностите на тези координати са:

\frac{1}{1} : \frac{1}{1} : —-\frac{1}{2} : \frac{1}{2}, а техните реципрочни стойности се получават 1\, : 1\, : —-2\, : 1\,. Следователно индексът на Милър за дадената на схемата плоскост е (1122).

Източници[редактиране | edit source]

  1. Словарь металлургических терминовр Индексы Миллера/Санкт-Петербург,2003
  2. а б Иван Костов - "Минералогия"/изд."Техника"/София/1993/ISBN 954-03-0112-2/стр.38
  3. а б Crystal Planes in Semiconductors
  4. а б в г Физическая энциклопедия, Индексы кристаллографические
  5. а б в г Основи на минералогията/Руслан Костов/изд. Pensoft/2000 г./ISBN 954-642091-3/стр.21
  6. а б в г д е ж з и Miller Indices (hkl)
  7. Encyclopaedia Britannica - William Hallowes Miller
  8. Энциклопедический словарь нанотехнологий, Индексы Миллера
  9. Кристаллографические индексы