Квадратна функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
f(x) = x2x − 2

Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа.

Квадратната функция е цяла рационална функция.


Графика и свойства[редактиране | edit source]

Графиката на такава функция с реални коефициенти е парабола, която пресича абцисната ос в точки с координати A(x1,0) и B(x2,0), когато дискриминантата D = b^2 - 4ac на квадратното уравнение f(x) = 0 е положителна. Числата x1 и x2 са корени на това уравнение и могат да се намерят по формулата

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Върхът на параболата е точката с координати (-b/2a, -D/4a), а оста ѝ е правата с уравнение x = -b/2a, която минава през върха и е успоредна на ординатната ос. Когато коефициентът a е равен на 0, квадратното уравнение f(x) = 0 се свежда до решаване на линейното bx + c = 0, което при b = 0 няма реални корени, а при b, различно от 0, се получава x = - \frac{c}{b}.

При коефициент а ≠ 0 и D = b^2 - 4ac = 0 уравнението има един двоен корен, който се изчислява по формулата x_1 = x_2 = - \frac{b}{2a}. В този случай графиката на квадратната функция е парабола, която се допира до абсцисната ос.

Ако дискриминантата на уравнението е отрицателно число, уравнението има само комплексни корени.

За а = 1, b = c = 0 графиката на степенната функция f (x) = x 2 е парабола в нормален вид и върхът ѝ съвпада с координатното начало. Тя е разположена симетрично спрямо ординатната ос и е отворена към нейната положителна посока.

При a ≠ 1 графиката на функцията f (x) = а x 2 е свита или разтегната относно нормалата парабола в зависимост от това, дали a > 1 или a < 1. Когато a < 0, графиката е огледално отразена спряма абсцисната ос. Графиката на функцията f (x) = x2 + c се получава от параболата в нормален вид чрез преместване на |c| единици в положителна или отрицателна посока в зависимост от знака на с.

Дефиниционната област на квадратната функция f(x) се разпада на два интервала на монотонност.

При a > 0 квадратната функция е намаляваща в интервала (-∞, -b/2a] и е растяща в интервала [-b/2a, ∞). Във всеки от тези интервали квадратната функция има по една обратна функция. Най-малката стойност на функцията е f(-b/2a).

При a < 0 функцията е растяща в интервала (-∞,-b/2a] и е намаляваща в интервала [-b/2a, ∞). Най-голямата стойност на функцията е f(-b/2a).


Разлагане на линейни множители[редактиране | edit source]

Когато квадратният тричлен ax2 + b x + c има реални корени x1, x2, т.е. когато D ≥ 0, той може да се разложи на линейни множители с реални коефициенти:

a x^2 + b x + c = a (x - x_1) (x - x_2).

При x1 = x2, т. е. при D = 0, имаме

a x^2 + b x + c = a (x - x_1)^2.

Когато квадратният тричлен няма реални корени, той не може да се представи като произведение на линейни множители с реални коефициенти.


Източник[редактиране | edit source]

В. Гелерт, Й. Кестнер, З. Нойбер - Математически енциклопедичен речник, изд. Наука и изкуство, С.,1983.


Вижте също[редактиране | edit source]

Функция

Квадратно уравнение