Кватернион

Кватернио́ните (на английски: Quaternion) са система на хиперкомплексни числа, предложена от Уилям Роуън Хамилтон през 1843 година.

Умножението на кватерниони не е комутативно; те образуват тяло, което обикновено се обозначава с $\mathbb H$.

История

Паметната плоча на моста Бруум бридж

Хамилтон търси начин да разшири понятието за комплексно число в повече пространствени измерения. В началото опитва тримерно пространство, но не успява и по-късно действително е доказано, че това е невъзможно. След това опитва пространство с 4 измерения и създава кватернионите.

Според собствения му разказ на 16 октомври 1843 Хамилтон се разхожда със съпругата си по Роял Канал край Дъблин, когато в ума му внезапно проблясва формулата:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Притеснен, че може да забрави решението, Хамилтон в нервна възбуда го надрасква с джобното си ножче върху страничен камък в северозападната част на моста Бруум бридж. Днес на това място има паметна плоча с надпис, който гласи:

Тук, както се разхождаше

на 16-ти октомври 1843

сър Уилям Роуън Хамилтон

в проблясък на гениалност

откри фундаменталната формула

за умножение на кватерниони

i² = j² = k² = ijk = −1

и я изчерта върху камъка на този мост.

Таблица за умножение

По аналогия с комплексните числа Хамилтон пръв въвежда записа на кватернионите като линейна комбинация във формата

$q = a+bi+cj+dk$,

където $\,a, b, c, d$ са реални числа, а $\,i, j, k$ са взаимно ортогонални имагинерни единици със следната таблица за умножение:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

Оттук лесно могат да бъдат извлечени следните циклични зависимости:

$\,ij=k$

$\,jk=i$

$\,ki=j$

и

$\,ji=-k$

$\,kj=-i$

$\,ik=-j$

както, разбира се, и основното отношение между трите имагинерни компоненти на кватерниона

$\,i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.

Вижте също

• Кватернион: Класическа представа на Хамилтон