Кватернион: Класическа представа на Хамилтон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В трудовете, писани преди 1901 по темата за кватернионите, се разглеждат класическите представи за тях. По това време кватернионният анализ представлявал самостоятелна математическа система, която изграждала свои собствени понятия за скалари, вектори и кватерниони и връзките между тези математически обекти. Тези книги могат да се сторят трудни на съвременните читатели отначало, защото нотацията, в по-голямата си част основана върху означенията и терминологията на Уилям Роуън Хамилтон, е съвсем различна от ползваната днес. Тук се предлага тълкувание на оригиналната нотация, речникът на терминологията и операциите, използвани в Lectures on Quaternions, Elements of Quaternions и други книги от 19-ти век по темата за кватернионите.

Неформален увод[редактиране | edit source]

През 19 век класическата идея за кватерниона е била нещо повече от нова нотация. За Хамилтон и останалите от неговата школа, включително Питър Тейт, това е бил нов поглед върху естеството на връзката между пространство, време и разстояние.

Квадратът на разстоянието, разглеждан като отрицателно време[редактиране | edit source]

В класическата нотация на кватернионите квадратът на единицата за разстояние бил равен на единицата за време със знак минус. Питагоровата теорема, в която B = 3i и C = 4j са страни на правоъгълен триъгълник, а A е хипотенузата, би изглеждала така:

A^2 = B^2 + C^2\,
-25 = -9 - 16\,

Приведено в класическата терминология на кватернионите, това би звучало така: квадратът на всеки вектор е отрицателен скалар[1] Алгебрата на скаларите била наричана Наука за Чистото Време.[2]

Доколкото в класическото мислене величината на разстоянието е имала отрицателен квадрат, тя е била различен тип число от величината време, защото време-подобните числа били представяни от числа, които имат положителен квадрат.

Класическият възглед за кватернионите включва не само един, а безкраен брой квадратни корени на минус едно,[3] и използва три от тях като ортогонални базисни вектори на модел на тримерно пространство,което е тясно свързано с четвърто измерение време.

Кватернионен възглед за пространството и времето[редактиране | edit source]

Класическият възглед за кватернионите от 19 век предполага, че реалното Евклидово 3-мерно пространство, по онова време общоприето[4], може да не е единственият адекватен модел на пространството и времето.

Формалната нотация на кватернионите на философско ниво приема, че пространството има четиримерно естество, състоящо се от време, тясно свързано с трите пространствени измерения. Това е така, защото ако скаларната част на кватерниона е нула, това го прави изоморфен на локализация в пространството в нулево време t=0.

Например, ако

w + xi + yj + zk = \,xi + yj + zk

тогава w = 0

В известен смисъл всеки формален модел на времето и пространството като четиримерна същност (entity) на метафизическо равнище е мислим като някакъв тип "кватернионно" пространство, дори ако на ниво формални означения и изчислително ниво оригиналната представа за класическия кватернион (едно измерение във времето и три в пространството) е продължила да се развива.

Класически елементи на кватерниона[редактиране | edit source]

Тензор[редактиране | edit source]

Тензорът на кватерниона е имал важно значение в класическата теория на кватернионите.[5]

Тензорът е много време-подобна величина. Той има само една посока — напред. Тензорът не се нуждае от положителен или отрицателен знак.

Когато умножаваме тензор по вектор ние получаваме нов вектор, който е по-къс или по-дълъг, но има същото направление. Това действие се нарича "tension" разтягане (съответно — скъсяване. Тейт наричал тензорите разтягащ фактор[6]

Тензорът може да удължи или скъси вектора, но не може да промени посоката му. Тензорът може да се стреми към нулата като граница, но нулата не е тензор.

Произведението на два тензора също е тензор, сумата на два тензора е тензор, и частното на два тензора също е тензор.

Независимо от това разликата на два тензора може да бъде нов вид число.

Например x = 3 - 5 няма решение в множеството от числа, наричани тензори. -2 е пример за нов и различен вид число, наречено скалар.

Скалар[редактиране | edit source]

Съвременните скалари са същите като през 19 век с изключение на факта, че могат да бъдат разлагани на тензор и знак. Операцията взимане на тензор извличала тензора от скалара, като резултатът е реално число без знак.

Вектор[редактиране | edit source]

Хамилтън въвежда за първи път идеята за вектор през 1840те. Той въвежда думата „вектор“ в първата си лекция[7], като думата произхожда от на латински: vection, „движа се“.

Всеки кватернион може да се разложи на скалар и вектор.

q = \mathbf{S}(q) + \mathbf{V}(q)

Двете операции S и V се наричат вземане на скалар (take the Scalar of) и вземане на вектор от класически кватернион на Хамилтън. Векторната част се нарича дясна част на кватерниона.[8].


Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Classical Hamiltonian quaternions“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.  

Бележки[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  • W.R. Hamilton (1853), Lectures on Quaternions, Dublin: Hodges and Smith
  • W.R. Hamilton (1899), Elements of Quaternions, 2nd edition, edited by Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
  • A.S. Hardy (1887), Elements of Quaternions
  • P.G. Tait (1890), An Elementary Treatise on Quaternions, Cambridge: C.J. Clay and Sons
  • Herbert Goldstein(1980), Classical Mechanics, 2nd edition, Library of congress catalog number QA805.G6 1980