Конволюция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Конволюция (от лат. convolutus, pp. от convolvere - оплитам, усуквам) между две функции се нарича интегралът

s(t) = f(t)*g(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t-\tau)g(\tau){\rm d}\tau,

където f\, и g\, са функции, интегрируеми в интервала \{+\infty,-\infty\}, а знакът *\, бележи конволюция.

Конволюцията се среща често, когато се използва преобразувание на Фурие, тъй като при преобразувание на Фурие произведението на две функции се трансформира в конволюция на индивидуалните трансформации на двете функции. С други думи ако \hat f\, и \hat g\, образите на функциите f\, и g\,, то за трансформацията на тяхното произведение е в сила следното равенство

\widehat{f\cdot g}=\hat f * \hat g.

Конволюцията може да бъде както между функции на една променлива, така и между функции на няколко променливи. Тогава за всяка променлива \tau_i\, се въвежда съответно отместване t_i\, и се интегрира по всяка променлива {\rm d}\tau_i\,. Например за функции на две променливи пълната конволюция е

f(x,y)*g(x,y) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-\xi,y-\zeta)g(\xi,\zeta){\rm d}\xi{\rm d}\zeta

Интерпретация[редактиране | edit source]

Конволюция на две правоъгълни функции

За интуитивно разбиране на същността на конволюцията помага следната интерпретация. Едната функция, да речем f\, се инвертира (f(x) \rightarrow f(-x)) и се отмества спрямо другата на отстояние t\, и се изчислява определения интеграл от произведението между отместената и неотместената функция. Резултатът е стойността на конволюцията за даденото отместване между двете функции. За различна стойност на отместването t\, конволюцията има различна стойност, т.е. конволюцията е функция на отместването.

На графиката е дадена за пример конволюцията между две правоъгълни функции, зададени чрез

f(t)=g(t)=\begin{cases}1\quad t\in[-0,5;0,5]\\0\quad t\notin[-0,5;0,5]\end{cases}.

Когато отместването между двете функции е под -1 интервалите, в които те са с ненулева стойност, не се застъпват, следователно произведението им е равно на 0 и интегралът също има стойност 0. Когато отместването стане -1 интервалите, в които функциите имат ненулева стойност се застъпват и стойността на на конволюцията започва да расте. В жълто е оцветено застъпването между двете функции. Стойността на конволюцията е равна на площта на оцветената в жълто област. Когато отместването стане равно на нула интегралът придобива максималната стойност, равна на 1. От там насетне стойността му намалява до нула за отместване 1. За по-големи отмествания стойността на конволюцията е 0.

Свойства на конволюцията[редактиране | edit source]

Комутативност
f * g = g * f \,
Асоциативност
f*(g*h)=(f*g)*h \,
Дистрибутивност
f*(g+h)=f*g+f*h \,
Асоциативност със скаларен параметър
a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,

Ако \delta\, импулсната функция на Дирак, която се дефинира като

\delta(t)=\begin{cases}\infty\ &t=0\\0&t\neq0\end{cases}\quad;\quad
\int\limits_{-\infty}^\infty\delta(t){\rm d}t=1,

в сила е следното равенство

f*\delta = f\,

Приложения[редактиране | edit source]

Конволюцията намира приложение в много математически, инженерни и физични задачи.

  • В теорията на линейните системи изходният сигнал на линейна инвариантна система може да бъде описан като конволюция между входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Импулсна характеристика се нарича изходният сигнал на системата, ако входният сигнал е безкрайно кратък импулс.
  • В оптиката ако предмет хвърля сянка върху екран, формата на сянката може да се представи като конволюция между формата на източника на светлина и формата на предмета. В този случай конволюцията се дефинира в две измерения.
  • При цифрова обработката на изображения конволюцията се използва в алгоритми за намиране на контурите на обекти.