Косинусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha

Доказателство[редактиране | edit source]

Нека да разгледаме триъгълника ABC. От върха C към страната AB е спусната височината CD (вж. Рис. 1). От триъгълника ADC следва:

Рис. 1
 AD = b \cos \, \alpha ,
 DB = c - b \cos \, \alpha

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника ADC и BDC:

 h^2 = b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)
 h^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad (2)


Приравняваме десните части на уравненията (1) и (2) и:

 b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2

или

 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha .

За страните b и c косинусовата теорема изглежда така:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \, \beta
 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \, \gamma .

Вижте също[редактиране | edit source]