Косинусова теорема

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha$

Доказателство

Нека да разгледаме триъгълника ABC. От върха C към страната AB е спусната височината CD (вж. Рис. 1). От триъгълника ADC следва:

Рис. 1

$AD = b \cos \, \alpha$,

$DB = c - b \cos \, \alpha$

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника ADC и BDC:

$h^2 = b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)$

$h^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad (2)$

Приравняваме десните части на уравненията (1) и (2) и:

$b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2$

или

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha$.

За страните b и c косинусовата теорема изглежда така:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \, \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \, \gamma$.

Вижте също

• Синусова теорема