Масов инерционен момент

Тази статия е част от серията статии на тема Класическа механика

Импулс · Сила · Енергия · Работа · Мощност · Скорост · Ускорение · Инерционен момент · Момент на сила · Момент на импулса Основни понятия Пространство · Време · Маса · Тегло · Гравитация Формулировки Нютонова механика · Механика на Лагранж · Хамилтонова механика · Раздели Кинематика · Динамика · Приложна механика · Небесна механика · Статистическа механика · Механика на флуидите Закони за запазване Закон за запазване на механичната енергия · Закон за запазване на импулса · Закон за запазване на момента на импулса Учени Галилео Галилей · Йохан Кеплер Исак Нютон · Леонард Ойлер Пиер-Симон Лаплас · Жан Лерон д'Аламбер Жозеф Луи Лагранж · Уилям Роуън Хамилтон Огюстен Луи Коши

В класическата механика, инерционният момент, наричан също масов инерционен момент или инерчен момент, (SI единици kg·m²·rad^-2, ) е мярка за "съпротивата", която едно тяло оказва на промяна в състоянието му на въртеливо движение. С други думи, това е инерцията на въртящото се тяло по отношение на въртенето му. Аналогично с дефиницията на обикновената инерция, обект, който се върти, се стреми да продължи да се върти с постоянна скорост и ще продължи да се върти докато не му подейства външен въртящ момент. Инерционния момент играе роля във въртеливото движение подобна на ролята на масата в линейната динамика, описвайки отношението между момент на импулса и ъглова скорост, въртящ момент и ъглово ускорение и др. Най-често се обозначава с I и понякога с J.

Инерционният момент обикновено се приема за скалар в по-простите явления. За анализ на по-сложни системи инерционният момент се третира като тензор.

Преглед

Въртяща се състезателка по фигурно пързаляне прибира ръцете си към тялото, намалявайки инерционния си момент и съответно увеличавайки скоростта си на въртене.

Тъй като инерционният момент около дадена ос показва колко трудно се изменя движението около тази ос, той включва не само масата на обекта, но и отдалечеността му от тази ос. Колкото по-далече е един обект от оста на въртене, толкова по-голям е неговият инерционен момент.

Скаларната форма на инерционния момент зависи от избрана ос на въртене, докато по-общата с тензорна форма не зависи.

Маховикът бързо въртящо се колело с голям инерционнен момент и съответно голям момент на импулса. Използва се за стабилизация.

Скаларен инерционен момент

Нека твърдо тяло се върти с ъглова скорост ω около дадена ос. Тялото се състои от  of N точкови маси  m_i, чието отстояние от оста на въртене отбелязваме с  r_i. Всяка точкова маса ще има линейна скорост v_i = ωr_i, така че пълната кинетична енергия E на тялото е:

$E = \sum_{i=1}^N \frac12\,m_i v_i^2 = \sum_{i=1}^N \frac12\,m_i (\omega r_i)^2 = \frac12\, \omega^2 \Big( \textstyle \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \Big).$

В този израз стойността в скобите наричаме "инерционен момент на тялото спрямо дадената ос". Бележим го с главно латинско  I:

$I = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2\ .$

Забележка: r_i в случая е разстоянието до избраната ос на въртене, а не до началната точка в координатната система. Затова инерционния момент е различен спрямо различните оси на въртене.

Инерционният момент на плътно твърдо тяло около зададена ос може да бъде намерен чрез заместване на сумата с интеграл:

$I = \int_V \rho(\mathbf{r})\,d(\mathbf{r})^2 \, \mathrm{d}V\!(\mathbf{r}),$

където r е радиус вектор на точка от тялото, ρ(r) е масовата плътност в точка  r, и d(r) е разстоянието от точката  r до оста на въртене. V е обемът на тялото.

Теореми

Теорема	Означения	Формула
Принцип на суперпозицията за инерчен момент за всяка избрана ос	Inet = Резултантния инерчен момент (около всяка избрана ос)	$I_\mathrm{net} = \sum_j I_j\,\!$
Теорема на Щайнер за успоредните оси	M = маса на тялото d = разстоянние между две оси през центъра на масата ICM = инерчен момент спрямо оста през центъра на масата Id = инерчен момент спрямо успоредната ос	$I_d = I_\mathrm{com} + Md^2 \,\!$
Теорема за перпендикулярните оси	i, j, k се отнасят за всяка една от възможни взаимно перпендикулярни оси	$I_k \leq I_i + I_j \,\!$

Свойства

Суперпозиция

Инерчния момент е адитивна величина. Това значи, че ако тяло може да бъде разделена на няколко части, то инерционния момент на цялото тяло около дадена ос е равно на сумата от инерционните моменти на частите му около същата ос.

Виж също

• момент на импулса
• въртящ момент
• въртеливо движение

Външни препратки

• [1]
• [2]

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Moment of inertia“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.