Масов инерционен момент

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Серия статии на тема

Класическа механика

PendulumWithMovableSupport.svg
Импулс · Сила · Енергия · Работа · Мощност · Скорост · Ускорение · Инерционен момент · Момент на сила · Момент на импулса

В класическата механика, инерционният момент, наричан също масов инерционен момент или инерчен момент, (SI единици kg·m²·rad-2, ) е мярка за "съпротивата", която едно тяло оказва на промяна в състоянието си на въртеливо движение. С други думи, това е инерцията на въртящото се тяло по отношение на въртенето му. Аналогично с дефиницията на обикновената инерция, обект, който се върти, се стреми да продължи да се върти с постоянна скорост и ще продължи да се върти докато не му подейства външен въртящ момент. Инерционния момент играе роля във въртеливото движение подобна на ролята на масата в линейната динамика, описвайки отношението между момент на импулса и ъглова скорост, въртящ момент и ъглово ускорение и др. Най-често се обозначава с I и понякога с J.

Инерционният момент обикновено се приема за скалар в по-простите явления. За анализ на по-сложни системи инерционният момент се третира като тензор.

Преглед[редактиране | edit source]

Въртяща се състезателка по фигурно пързаляне прибира ръцете си към тялото, намалявайки инерционния си момент и съответно увеличавайки скоростта си на въртене.

Тъй като инерционният момент около дадена ос показва колко трудно се изменя движението около тази ос, той включва не само масата на обекта, но и отдалечеността му от тази ос. Колкото по-далече е един обект от оста на въртене, толкова по-голям е неговият инерционен момент.

Скаларната форма на инерционния момент зависи от избрана ос на въртене, докато по-общата с тензорна форма не зависи.

Маховикът бързо въртящо се колело с голям инерционнен момент и съответно голям момент на импулса. Използва се за стабилизация.

Скаларен инерционен момент[редактиране | edit source]

Нека твърдо тяло се върти с ъглова скорост ω около дадена ос. Тялото се състои от  of N точкови маси  mi, чието отстояние от оста на въртене отбелязваме с  ri. Всяка точкова маса ще има линейна скорост vi = ωri, така че пълната кинетична енергия E на тялото е:



    E = \sum_{i=1}^N \frac12\,m_i v_i^2 = \sum_{i=1}^N \frac12\,m_i (\omega r_i)^2 = \frac12\, \omega^2 \Big( \textstyle \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \Big).

В този израз стойността в скобите наричаме "инерционен момент на тялото спрямо дадената ос". Бележим го с главно латинско  I:



    I = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2\ .

Забележка: ri в случая е разстоянието до избраната ос на въртене, а не до началната точка в координатната система. Затова инерционния момент е различен спрямо различните оси на въртене.

Инерционният момент на плътно твърдо тяло около зададена ос може да бъде намерен чрез заместване на сумата с интеграл:



    I = \int_V \rho(\mathbf{r})\,d(\mathbf{r})^2 \, \mathrm{d}V\!(\mathbf{r}),

където r е радиус вектор на точка от тялото, ρ(r) е масовата плътност в точка  r, и d(r) е разстоянието от точката  r до оста на въртене. V е обемът на тялото.

Теореми[редактиране | edit source]

Теорема Означения Формула
Принцип на суперпозицията за инерционен момент за всяка избрана ос Inet = Резултантния инерционен момент (около всяка избрана ос)  I_\mathrm{net} = \sum_j I_j\,\!
Теорема на Щайнер за успоредните оси M = маса на тялото

d = разстоянние между две оси през центъра на масата
ICM = инерчен момент спрямо оста през центъра на масата
Id = инерчен момент спрямо успоредната ос

 I_d = I_\mathrm{com} + Md^2 \,\!
Теорема за перпендикулярните оси i, j, k се отнасят за всяка една от възможни взаимно перпендикулярни оси I_k \leq I_i + I_j \,\!

Свойства[редактиране | edit source]

Суперпозиция

Инерционният момент е адитивна величина. Това значи, че ако тяло може да бъде разделена на няколко части, то инерционният момент на цялото тяло около дадена ос е равен на сумата от инерционните моменти на частите му около същата ос.

Виж също[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Moment of inertia“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.