Математическо очакване

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката, и по-точно в теорията на вероятностите и статистиката, математическото очакване представлява характеристична стойност на вероятностното разпределение на една случайна величина. Математическото очакване се базира на теорията на абстрактния интеграл на Лебег. Може да се интерпретира като „средна стойност“ на дадена случайна величина, въпреки че тази стойност може да не бъде възможен неин изход. Математическото очакване не бива да се бърка с „най-вероятен изход“ от случайния експеримент.


Дефиниция[редактиране | edit source]

Означение[редактиране | edit source]

С \mathfrak{L}_1 = \mathfrak{L}_1(\Omega, \mathfrak{A}, P) се означава множеството на интегрируемите по Лебег случайни величини, дефинирани върху вероятностното пространство (\Omega, \mathfrak{A}, P).

Нека X \in \mathfrak{L}_1.Тогава интегралът E(X) = \int\limits_{\Omega}^{}X(\omega)\, dP(\omega) се нарича математическо очакване на случайната величина X. Впоследствие се разглеждат два специални случая, които са разискани по-долу.

Математическо очакване на прекъсната случайна величина[редактиране | edit source]

X е дискретна случайна величина, т.е. P(\{X \in D\})=1, за едно изброимо множество D \subset \R. X \in \mathfrak{L}_1 тогава и само тогава, когато \sum_{x \in D}^{} |x|\cdot P(\{X = x\}) < \infty . В случай че това е в сила, следва E(X) = \sum_{x \in D}^{} x\cdot P(\{X = x\}) .

Математическо очакване на непрекъсната случайна величина[редактиране | edit source]

X е непрекъсната случайна величина с плътност на разпределението f_X. X \in \mathfrak{L}_1 тогава и само тогава, когато \int\limits_{-\infty}^{\infty}|x|\cdot f_X(x)\, dx < \infty. В случай, че това е в сила, следва E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot f_X(x)\, dx .

Свойства[редактиране | edit source]

Математическото очакване представлява функция E : \mathfrak{L}_1 \rightarrow \R със следните свойства:

  • Ако c \in \R е константа, то тогава E(c) = c .
  • За X,Y \in \mathfrak{L}_1 и \alpha , \beta \in \R важи

E(\alpha X + \beta Y) = \alpha E(X) + \beta E(Y) . (линейност)

  • Ако важи X \le Y за две случайни величини X и Y, то тогава следва

E(X) \le E(Y). (монотонност)

Примери[редактиране | edit source]

Пример 1.[редактиране | edit source]

Нека  X \sim \mathbb{B}(n,p) бъде една биномно разпределена случайна величина с параметри n \in \mathbb{N} и p \in [0,1]. Тогава математическото очакване на X e E(X)=n\cdot p .

Доказателство:

Разглеждаме X_1, \ldots , X_n независими и еднакво разпределени случайни величини с X_1 \sim \mathbb{B}(1,p) (X_1 е Бернули-разпределена с параметър p).Тъй като D = \{0,1\} е изброимо множество, попадаме в първи случай, разгледан в дефиницията по-горе. Тогава E(X_1) = \sum_{x \in D}^{} |x|\cdot P(\{X_1 = x\}) = \sum_{x \in \{0,1\}}^{} x\cdot P(\{X_1 = x\})  = \sum_{k=0}^1 k\cdot P(\{X_1 = k\}) = 0\cdot P(\{X_1 = 0\} + 1\cdot P(\{X_1 = 1\} = 0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p < \infty.

Дефинирайте X := \sum_{i=1}^{n} X_i. Тогава X \sim \mathbb{B}(n,p) и с помощта на линейността на математическото очакване получаваме E(X) = E(\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i)  \overset{\underset{\mathrm{iid}}{}}{=}  n\cdot E(X_1) = n\cdot p .

Еднократно хвърляне на зар. Стохастичен модел на случайния експеримент[редактиране | edit source]

\Omega := \{1, \ldots, 6\}
\mathfrak{A} := \mathfrak{P}(\Omega)
P : равномерно разпределение върху \mathfrak{A}.

Дефинираме една случайна величина X: X(\omega) := \omega, която ще описва изхода от хвърлянето. Тогава имаме P(\{X = k\}) = \frac{1}{6} за k \in \{1, \ldots, 6\}. С това E(X) = \sum_{k \in \{1, \ldots, 6\}}^{} k \cdot P(\{X=k\}) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(\{X=k\})
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot \frac{1}{6} = 3,5.

Източници[редактиране | edit source]

  • Georgii, Hans-Otto (2008). „Stochastics“, Gruyter, ISBN 10: 3110191458
  • Krengel, U. (2005). „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Vieweg
  • Irle, A. (2005). „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Teubner