Метричен тензор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Базови координати вектори[редактиране | edit source]

Разглеждаме два произволни вектора в координатна система:

A = A1e_1 + A2e_2 + A3e_3
B = B1e_1 + B2e_2 + B3e_3

, където  e_1, e_2, e_3 са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)


Можем да направим такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер - (делта):


\delta_{ij} = 1 ако i =j,
  \delta_{ij} = 0 ако   i \neq j
В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:
\delta_ij = \delta_i^j



\delta_{11} = 1 \quad
\delta_{12} = 0 \quad
\delta_{13} = 0 \quad
\delta_{21} = 0 \quad   
\delta_{22} = 1 \quad
\delta_{23} = 0 \quad
\delta_{31} = 0 \quad
\delta_{32} = 0 \quad
\delta_{33} = 1

Ако ползваме горен индекс се получава:


\delta_1^1 = 1 \quad
\delta_1^2 = 0 \quad
\delta_1^3 = 0 \quad
\delta_2^1 = 0 \quad   
\delta_2^2 = 1 \quad
\delta_2^3 = 0 \quad
\delta_3^1 = 0 \quad
\delta_3^2 = 0 \quad
\delta_3^3 = 1


В случай на ортогонална координатна система с единични вектори e_1, e_2, e_3 имаме следната формула:

e_m e_n = \delta_{mn} където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори[редактиране | edit source]

Разглеждаме координатна система с базови вектори: \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3

Приемаме че те не са нито ортогонални, нито единични. Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

 \vec A= A^1 \vec E_1 + A^2 \vec E_2 + A^3 \vec E_3


А сега да разгледаме реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори: \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3

\vec E_1.\vec E^1 = 1
\vec E_2. \vec E^2 = 1
\vec E_3. \vec E^3 = 1
\vec E_1. \vec E^2 = 0
\vec E_1. \vec E^3 = 0
\vec E_2. \vec E^3 = 0
Забележете че втората група от условия налагат\vec E^1 да е перпендикулярен на \vec E_2 и \vec E_3 ,

\vec E^2 да е перпендикулярен на равнината, определена от \vec E_1 и \vec E_3

и \vec E^3 да е перпендикулярен на равнината, определена от \vec E_1 и \vec E_2 .

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

\vec E_i.E^j = \delta_i^j, където i,j = 1,2,3


Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори[редактиране | edit source]

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3 се вижда че \vec E^1 трябва да е перпендикулярен на \vec E_2 и \vec E_3
 . Следователно той може да бъде представен като произведение

\vec E^1= V^{-1}.\vec E_2 \times \vec E_3

където V^{-1} е константа, която предстои да бъде определена по нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора \vec E_1 ще получим обема на паралелепипеда, зададен от базата \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3.

\vec E_1 .\vec E^1= V^{-1}.\vec E_1.(\vec E_2 \times \vec E_3)


 V= \vec E_1.( \vec E_2 \times \vec E_3) -обем на паралелепипед зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори ( \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3 ) и реципрочната база от вектори  ( \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3) е:

 \vec E^1= V^{-1}.\vec E_2 \times \vec E_3
 \vec E^2= V^{-1}.\vec E_3 \times \vec E_1
 \vec E^3= V^{-1}.\vec E_1 \times \vec E_2


Контравариантно и ковариантно представяне на вектор[редактиране | edit source]

Нека да имаме база от вектори  \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3 и съответната реципрочна база от вектори:  \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3.

Разглеждаме вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо  \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3

 \vec A= A^1 \vec E_1+ A^2 \vec E_2+ A^3 \vec E_3

Координатите A^1, A^2, A^3 се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

 A^1= \vec A .\vec E^1
 A^2= \vec A .\vec E^2
 A^3= \vec A .\vec E^3


Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

\vec A= A_1 \vec E^1+ A_2 \vec E^2+A_3 \vec E^3
Координатите A_1, A_2, A_3 се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

 A_1= \vec A .\vec E_1
 A_2= \vec A .\vec E_2
 A_3= \vec A .\vec E_3

Метричен тензор[редактиране | edit source]

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Да разглеждаме две бази от координатни вектори (\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3) и (\vec E^1, \vec E^2, \vec E^3 ), но в този случай те да не са реципрочни. Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази записваме:

\vec E_i . \vec E_j =\vec E_j . \vec E_i = g_{ij} =g_{ji}
\vec E^i . \vec E^j = \vec E^j . \vec E^i= g^{ij}= g^{ji}

скаларните величини: g_{ij} се наричат метрични компоненти на пространството. Съответно g^{ij} се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството[редактиране | edit source]

Да разгледаме вектора A( A^1, A^2, A^3) представен спрямо базата E_1, E_2, E_3.

\vec A = A^1 \vec E_1 + A^2 \vec E_2 + A^3 \vec E_3

От предишните подточки знаем че

A_1 = \vec A E_1
A_2 = \vec A E_2
A_3 = \vec A E_3


\vec A E_1 = (A^1 E_1 + A^2 E_2 + A^3 E_3). E_1 = A_1
Умножаваме:

\vec A E_1 = A^1 E_1. E_1  + A^2 E_2.E_1 + A^3 E_3.E_1 = A_1 \vec A E_1 = A_1 E^1 E_1 + A_2 E^2 E_1 + A_3 E^3 E_1 = A_1

Ползвайки метричните компоненти на пространството получаваме:

A_1 =A^1 g_{11}  + A^2 g_{12} + A^3 g_{13}
A_2 =A^1 g_{21}  + A^2 g_{22} + A^3 g_{23}
A_3 =A^1 g_{31}  + A^2 g_{32} + A^3 g_{33}


Ето връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А:

A^1 = A_1 g^{11}  + A_2 g^{12} + A_3 g^{13}
A^2 = A_1 g^{21}  + A_2 g^{22} + A_3 g^{23}
A^3 = A_1 g^{31}  + A_2 g^{32} + A_3 g^{33}


Ползвана литература и полезни материали в интернет[редактиране | edit source]

  • Английската и руската версии на Уикипедия
  • "Теоретическа физика" - Л.Д.Ландау, Лифшиц