Метричен тензор

Базови координати вектори

Разглеждаме два произволни вектора в координатна система:

$A = A1e_1 + A2e_2 + A3e_3$

$B = B1e_1 + B2e_2 + B3e_3$

, където $e_1, e_2, e_3$ са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)

B = (B1; B2; B3)

Можем да направим такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);

e2 = (0; 1; 0);

e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер - (делта):

$\delta_ij = 1$ ако i =j,

$\delta_ij = 0$ ако $i \neq j$

В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:

$\delta_ij = \delta_i^j$

$\delta_{11} = 1 \quad \delta_{12} = 0 \quad \delta_{13} = 0 \quad$

$\delta_{21} = 0 \quad \delta_{22} = 1 \quad \delta_{23} = 0 \quad$

$\delta_{31} = 0 \quad \delta_{32} = 0 \quad \delta_{33} = 1$

Ако ползваме горен индекс се получава:

$\delta_1^1 = 1 \quad \delta_1^2 = 0 \quad \delta_1^3 = 0 \quad$

$\delta_2^1 = 0 \quad \delta_2^2 = 1 \quad \delta_2^3 = 0 \quad$

$\delta_3^1 = 0 \quad \delta_3^2 = 0 \quad \delta_3^3 = 1$

В случай на ортогонална координатна система с единични вектори $e_1, e_2, e_3$ имаме следната формула:

$e_m e_n = \delta_{mn}$ където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори

Разглеждаме координатна система с базови вектори: $\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3$

Приемаме че те не са нито ортогонални, нито единични. Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

$\vec A= A^1 \vec E_1 + A^2 \vec E_2 + A^3 \vec E_3$

А сега да разгледаме реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори: $\vec E^1, \vec E^2, \vec E^3$

$\vec E_1.\vec E^1 = 1$

$\vec E_2. \vec E^2 = 1$

$\vec E_3. \vec E^3 = 1$

$\vec E_1. \vec E^2 = 0$

$\vec E_1. \vec E^3 = 0$

$\vec E_2. \vec E^3 = 0$

Забележете че втората група от условия налагат$\vec E^1$ да е перпендикулярен на $\vec E_2$ и $\vec E_3$,

$\vec E^2$ да е перпендикулярен на равнината, определена от $\vec E_1$ и $\vec E_3$

и $\vec E^3$ да е перпендикулярен на равнината, определена от $\vec E_1$ и $\vec E_2$.

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

$\vec E_i.E^j = \delta_i^j$, където i,j = 1,2,3

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: $\vec E^1, \vec E^2, \vec E^3$ се вижда че $\vec E^1$ трябва да е перпендикулярен на $\vec E_2$ и $\vec E_3$. Следователно той може да бъде представен като произведение

$\vec E^1= V^{-1}.\vec E_2 \times \vec E_3$

където $V^{-1}$ е константа, която предстои да бъде определена по нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора $\vec E_1$ ще получим обема на паралелепипеда, зададен от базата $\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3$.

$\vec E_1 .\vec E^1= V^{-1}.\vec E_1.(\vec E_2 \times \vec E_3)$

$V= \vec E_1.( \vec E_2 \times \vec E_3)$ -обем на паралелепипед зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори $( \vec E_1, \vec E_2, \vec E_3 )$ и реципрочната база от вектори $( \vec E^1, \vec E^2, \vec E^3)$ е:

$\vec E^1= V^{-1}.\vec E_2 \times \vec E_3$

$\vec E^2= V^{-1}.\vec E_3 \times \vec E_1$

$\vec E^3= V^{-1}.\vec E_1 \times \vec E_2$

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор

Нека да имаме база от вектори $\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3$ и съответната реципрочна база от вектори: $\vec E^1, \vec E^2, \vec E^3$.

Разглеждаме вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо $\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3$

$\vec A= A^1 \vec E_1+ A^2 \vec E_2+ A^3 \vec E_3$

Координатите $A^1, A^2, A^3$ се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

$A^1= \vec A .\vec E^1$

$A^2= \vec A .\vec E^2$

$A^3= \vec A .\vec E^3$

Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

$\vec A= A_1 \vec E^1+ A_2 \vec E^2+A_3 \vec E^3$

Координатите $A_1, A_2, A_3$ се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

$A_1= \vec A .\vec E_1$

$A_2= \vec A .\vec E_2$

$A_3= \vec A .\vec E_3$

Метричен тензор

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Да разглеждаме две бази от координатни вектори $(\vec E_1, \vec E_2, \vec E_3)$ и $(\vec E^1, \vec E^2, \vec E^3 )$, но в този случай те да не са реципрочни. Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази записваме:

$\vec E_i . \vec E_j =\vec E_j . \vec E_i = g_{ij} =g_{ji}$

$\vec E^i . \vec E^j = \vec E^j . \vec E^i= g^{ij}= g^{ji}$

скаларните величини: $g_{ij}$ се наричат метрични компоненти на пространството. Съответно $g^{ij}$ се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството

Да разгледаме вектора $A( A^1, A^2, A^3)$ представен спрямо базата $E_1, E_2, E_3$.

$\vec A = A^1 \vec E_1 + A^2 \vec E_2 + A^3 \vec E_3$

От предишните подточки знаем че

$A_1 = \vec A E_1$

$A_2 = \vec A E_2$

$A_3 = \vec A E_3$

$\vec A E_1 = (A^1 E_1 + A^2 E_2 + A^3 E_3). E_1 = A_1$

Умножаваме:

$\vec A E_1 = A^1 E_1. E_1 + A^2 E_2.E_1 + A^3 E_3.E_1 = A_1$ $\vec A E_1 = A_1 E^1 E_1 + A_2 E^2 E_1 + A_3 E^3 E_1 = A_1$

Ползвайки метричните компоненти на пространството получаваме:

$A_1 =A^1 g_{11} + A^2 g_{12} + A^3 g_{13}$

$A_2 =A^1 g_{21} + A^2 g_{22} + A^3 g_{23}$

$A_3 =A^1 g_{31} + A^2 g_{32} + A^3 g_{33}$

Ето връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А:

$A^1 = A_1 g^{11} + A_2 g^{12} + A_3 g^{13}$

$A^2 = A_1 g^{21} + A_2 g^{22} + A_3 g^{23}$

$A^3 = A_1 g^{31} + A_2 g^{32} + A_3 g^{33}$

Ползвана литература и полезни материали в интернет

• Английската и руската версии на Уикипедия
• "Теоретическа физика" - Л.Д.Ландау, Лифшиц

• An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering, released by NASA
• Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
• A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov.