Многомащабно приближение

Многомащабно приближение (английски: multiresolution analysis (MRA)) е главният метод за изграждане на ДВП с практическо приложение, както и обосновката за алгоритъма за бързото вълничково преобразование (БВП). Въведено е през 1988/89 от Стефан Малат и Ив Мейе.

Определение

Многомащабно приближение в пространството $L^2(\mathbb{R})$ се състои от поредица от вложени едно в друго линейни подпространства

$\dots\subset V_0\subset V_1\subset\dots\subset V_n\subset V_{n+1}\subset\dots\subset L^2(\R),$

които изпълняват дадени отношения на самоподобие във времевата/пространствената област и мащабната/честотната област, както и пълнота и условия за регулярност.

• Самоподобие във времевата област изисква всяко подпространство V_k да бъде инвариантно спрямо транслации с целочислени кратни на 2^{— k}. Другояче казано за всяко $f\in V_k,\; m\in\mathbb Z$ съществува $g\in V_k$, такова че $\forall x\in\mathbb R:\;f(x)=g(x+m2^{-k})$.
• Самоподобие в мащабната област изисква всички подпространства $V_k\subset V_l,\; k<l,$ да са мащабирани във времето копия едно на друго с коефициент на мащабиране съответно 2^l—k. С други думи за всяко $f\in V_k$ съществува $g\in V_l$, такова че $\forall x\in\mathbb R:\;g(x)=f(2^{l-k}x)$. Ако f е с ограничен носител, то носителят на g се смалява, т.е. разделителната способност на l-тото подпространство е по-вискока, отколкото на k-тото.
• Регулярността изисква всяко изначално подпространство V₀ да бъде породено от линейната обвивка на целочислените транслации на една или краен брой пораждащи функции $\phi$ или $\phi_1,\dots,\phi_r$. Тези целочислени транслации трябва да бъдат базис на подпространството $V_0\subset L^2(\R)$. Пораждащите функции се наричат още мащабиращи функции или вълнички-бащи. В повечето случаи на тях се поставя условие да са отчасти непрекъснати с компактен носител.

• Пълнотата изисква вложени едно в друго подпространства да покриват цялото пространство, т.е. обединението им да е навсякъде гъсто в $L^2(\mathbb{R})$. Освен това се изисква те да не са редундантни, т.е. сечението им да съдържа само нулевия елемент.

Важни заключения

В случая на една непрекъсната вълничка-баща с компактен носител, чиито транслации са ортогонални, могат да се извлекат няколко следствия. Доказателството за съществуването на такъв клас от функции дължим на Ингрид Добеши.

Понеже $V_0\subset V_1$ съществува крайна редица от коефициенти $a_k=2 \langle\phi(x),\phi(2x-k)\rangle$, за $|k|\leq N$ и $a_k=0$ за $|k|>N$, такива че

$\phi(x)=\sum_{k=-N}^N a_k\phi(2x-k).$

Дефинирайки друга функция, наречена вълничка-майка или просто вълничка,

$\psi(x):=\sum_{k=-N}^N (-1)^k a_{1-k}\phi(2x-k),$

се вижда, че пространството $W_0\subset V_1$, дефинирано като линейната обвивка на целочислените транслации на вълничката-майка, е ортогоналното допълващо пространство на V₀ в V₁. Или по друг начин $V_1$ е ортогоналната сума на W₀ и V₀. От самоподобието следва, че съществуват мащабирани копия W_к на W₀, а от пълнотата, че

$L^2(\mathbb R)=\overline{\bigoplus_{k\in\Z}W_k},$

Следователно множеството

$\{\psi_{k,n}(x)=\sqrt2^k\psi(2^kx-n):\;k,n\in\Z\}$

е изброим пълен ортонормиран базис в $L^2(\R)$.

Виж още

• Многомащабно моделиране
• Мащабно пространство

Литература

• S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999, ISBN 012466606X
• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0585470901
• C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0124896009.
• http://www.cmap.polytechnique.fr/~mallat/book.html

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Multiresolution analysis“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.