Многомащабно приближение

Многомащабно приближение (на английски: multiresolution analysis, MRA) е главният метод за изграждане на Дискретно уейвлет преобразование с практическо приложение, както и обосновката за алгоритъма за бързото уейвлет преобразование (БВП). Въведено е през 1988/89 от Стефан Малат и Ив Мейе.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Многомащабно приближение в пространството $L^{2}(\mathbb {R} )$ се състои от поредица от вложени едно в друго линейни подпространства

\dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} ),

които изпълняват дадени отношения на самоподобие във времевата/пространствената област и мащабната/честотната област, както и пълнота и условия за регулярност.

Самоподобие във времевата област изисква всяко подпространство V_k да бъде инвариантно спрямо транслации с целочислени кратни на 2^{— k}. Другояче казано за всяко $f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z}$ съществува $g\in V_{k}$ , такова че $\forall x\in \mathbb {R} :\;f(x)=g(x+m2^{-k})$ .
Самоподобие в мащабната област изисква всички подпространства $V_{k}\subset V_{l},\;k<l,$ да са мащабирани във времето копия едно на друго с коефициент на мащабиране съответно 2^l—k. С други думи за всяко $f\in V_{k}$ съществува $g\in V_{l}$ , такова че $\forall x\in \mathbb {R} :\;g(x)=f(2^{l-k}x)$ . Ако f е с ограничен носител, то носителят на g се смалява, т.е. разделителната способност на l-тото подпространство е по-висока, отколкото на k-тото.
Регулярността изисква всяко изначално подпространство V₀ да бъде породено от линейната обвивка на целочислените транслации на една или краен брой пораждащи функции $\phi$ или $\phi _{1},\dots ,\phi _{r}$ . Тези целочислени транслации трябва да бъдат базис на подпространството $V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ . Пораждащите функции се наричат още мащабиращи функции или уейвлети-бащи. В повечето случаи на тях се поставя условие да са отчасти непрекъснати с компактен носител.

Пълнотата изисква вложени едно в друго подпространства да покриват цялото пространство, т.е. обединението им да е навсякъде гъсто в $L^{2}(\mathbb {R} )$ . Освен това се изисква те да не са редундантни, т.е. сечението им да съдържа само нулевия елемент.

Важни заключения[редактиране | редактиране на кода]

В случая на един непрекъснат уейвлет-баща с компактен носител, чиито транслации са ортогонални, могат да се извлекат няколко следствия. Доказателството за съществуването на такъв клас от функции дължим на Ингрид Добеши.

Понеже $V_{0}\subset V_{1}$ съществува крайна редица от коефициенти $a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle$ , за $|k|\leq N$ и $a_{k}=0$ за $|k|>N$ , такива че

\phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).

Дефинирайки друга функция, наречена уейвлет-майка или просто уейвлет,

\psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),

се вижда, че пространството $W_{0}\subset V_{1}$ , дефинирано като линейната обвивка на целочислените транслации на уейвлета-майка, е ортогоналното допълващо пространство на V₀ в V₁. Или по друг начин $V_{1}$ е ортогоналната сума на W₀ и V₀. От самоподобието следва, че съществуват мащабирани копия W_к на W₀, а от пълнотата, че

L^{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k}}},

Следователно множеството

\{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{k}\psi (2^{k}x-n):\;k,n\in \mathbb {Z} \}

е изброим пълен ортонормиран базис в $L^{2}(\mathbb {R} )$ .

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Литература[редактиране | редактиране на кода]

S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999, ISBN 012466606X
Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0585470901
C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0124896009.
www.cmap.polytechnique.fr Архив на оригинала от 2008-01-25 в Wayback Machine.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Multiresolution analysis в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.