Многомащабно приближение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Многомащабно приближение (английски: multiresolution analysis (MRA)) е главният метод за изграждане на ДВП с практическо приложение, както и обосновката за алгоритъма за бързото вълничково преобразование (БВП). Въведено е през 1988/89 от Стефан Малат и Ив Мейе.

Определение[редактиране | edit source]

Многомащабно приближение в пространството L^2(\mathbb{R}) се състои от поредица от вложени едно в друго линейни подпространства

\dots\subset V_0\subset V_1\subset\dots\subset V_n\subset V_{n+1}\subset\dots\subset L^2(\R),

които изпълняват дадени отношения на самоподобие във времевата/пространствената област и мащабната/честотната област, както и пълнота и условия за регулярност.

  • Самоподобие във времевата област изисква всяко подпространство Vk да бъде инвариантно спрямо транслации с целочислени кратни на 2— k. Другояче казано за всяко f\in V_k,\; m\in\mathbb Z съществува g\in V_k, такова че \forall x\in\mathbb R:\;f(x)=g(x+m2^{-k}).
  • Самоподобие в мащабната област изисква всички подпространства V_k\subset V_l,\; k<l, да са мащабирани във времето копия едно на друго с коефициент на мащабиране съответно 2l—k. С други думи за всяко f\in V_k съществува g\in V_l, такова че \forall x\in\mathbb R:\;g(x)=f(2^{l-k}x). Ако f е с ограничен носител, то носителят на g се смалява, т.е. разделителната способност на l-тото подпространство е по-вискока, отколкото на k-тото.
  • Регулярността изисква всяко изначално подпространство V0 да бъде породено от линейната обвивка на целочислените транслации на една или краен брой пораждащи функции \phi или \phi_1,\dots,\phi_r. Тези целочислени транслации трябва да бъдат базис на подпространството V_0\subset L^2(\R). Пораждащите функции се наричат още мащабиращи функции или вълнички-бащи. В повечето случаи на тях се поставя условие да са отчасти непрекъснати с компактен носител.
  • Пълнотата изисква вложени едно в друго подпространства да покриват цялото пространство, т.е. обединението им да е навсякъде гъсто в L^2(\mathbb{R}). Освен това се изисква те да не са редундантни, т.е. сечението им да съдържа само нулевия елемент.

Важни заключения[редактиране | edit source]

В случая на една непрекъсната вълничка-баща с компактен носител, чиито транслации са ортогонални, могат да се извлекат няколко следствия. Доказателството за съществуването на такъв клас от функции дължим на Ингрид Добеши.

Понеже V_0\subset V_1 съществува крайна редица от коефициенти a_k=2 \langle\phi(x),\phi(2x-k)\rangle, за |k|\leq N и a_k=0 за |k|>N, такива че

\phi(x)=\sum_{k=-N}^N a_k\phi(2x-k).

Дефинирайки друга функция, наречена вълничка-майка или просто вълничка,

\psi(x):=\sum_{k=-N}^N (-1)^k a_{1-k}\phi(2x-k),

се вижда, че пространството W_0\subset V_1, дефинирано като линейната обвивка на целочислените транслации на вълничката-майка, е ортогоналното допълващо пространство на V0 в V1. Или по друг начин V_1 е ортогоналната сума на W0 и V0. От самоподобието следва, че съществуват мащабирани копия Wк на W0, а от пълнотата, че

L^2(\mathbb R)=\overline{\bigoplus_{k\in\Z}W_k},

Следователно множеството

\{\psi_{k,n}(x)=\sqrt2^k\psi(2^kx-n):\;k,n\in\Z\}

е изброим пълен ортонормиран базис в L^2(\R).

Виж още[редактиране | edit source]

Литература[редактиране | edit source]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Multiresolution analysis“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.