Множество

В математиката множеството представлява съвкупност от различни обекти, наричани още елементи, която се разглежда като едно цяло. Елементите в множествата не могат да се повтарят и не са подредени по специален ред. Множествата са едни от най-важните обекти в математиката, въпреки че са въведени за първи път едва в края на XIX век. Математическата дисциплина, която разглежда изучаването на тяхната структура и свойства, се нарича теория на множествата. Цялата съвременна математика се изгражда логически на нейна основа.

Дефиниции

Интуитивно, множеството представлява съвкупност от обекти. Обектите се наричат негови елементи и се казва, че принадлежат на множеството. Например, числото 1 е елемент на множеството на естествените числа, София принадлежи на множеството на всички световни столици. Наредбата на елементите и броят на срещанията на даден елемент в множеството са без значение. Две множества A и B са равни, когато имат едни и същи елементи (тоест всеки елемент на A е елемент и на B и обратно). С теоретично значение се въвежда понятието празно множество, което представлява множество без елементи.

Горната дефиниция, не е напълно коректна, защото използва понятието съвкупност, без да го дефинира. Всеки опит за точно дефиниране на съвкупност би довел до кръгова дефиниция. Поради това в математиката понятията множество и принадлежи се приемат за първични и не се дефинират строго. Всички други математически понятия могат да бъдат строго дефинирани, използвайки само тези два термина. Например елемент на множеството A се дефинира като всяко множество B, което принадлежи на A.

Подмножество

Множеството $A$ се нарича подмножество на множеството $B$, когато всеки елемент на $A$ е елемент и на $B$. Това означава, че от $a \in A$ следва $b \in B$, както и че от $b \not \in B$ следва $a \not \in A$. Когато $A$ е подмножество на $B$, се пише $A \subset B$ или $B \supset A$.

Празно множество

Празното множество $\varnothing$ въобще няма елементи и поради това е ясно, че за всеки обект $x$ е в сила $x \not \in \varnothing$. Празното множество е подмножество на всяко множество - изпълнено е включването $\varnothing \subset A$ за всяко множество $A$.

Описание

Едно множество се описва по два начина — с изброяване на елементите му или със задаване на условие, което те удовлетворяват.

Свойства

Равенство

Две множества са равни тогава и само тогава, когато всеки елемент на едното е елемент и на другото.

Равномощност

Две множества се наричат равномощни, когато съществува взаимноеднозначно изображение между тях (когато съдържат равен брой елементи).

Крайност и безкрайност

Едно множество се нарича крайно, ако то съдържа n на брой елемента, където n е естествено число (може да бъде и 0). В противен случай, множеството се нарича безкрайно (виж. също дефиниция на безкрайно множество по Дедекинд).

Изброимост

Едно безкрайно множество се нарича изброимо, когато е равномощно на множеството на естествените числа.

$A \cap B$

$A \cup B$

$A \setminus B$

Вижте още

• Размито множество
• Дискретна математика