Мултииндекс

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Мултииндекс е вид опростяване на формули в анализа на функции с много параметри, частните диференциални уравнения и теорията за обобщената функция, което генерализира концепцията за целочислен индекс до наредено множество от индекси.

Може да се каже, че N-измерен мултииндекс е N-измерен вектор над естествените числа

\alpha = (\alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots,\alpha_{n})

За мултииндексите \alpha, \beta \in \mathbb{N}^n и \mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n се дефинират:

\alpha \pm \beta:= (\alpha_{1} \pm \beta_{1},\,\alpha_{2} \pm \beta_{2}, \ldots, \,\alpha_{n} \pm \beta_{n})
\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad \forall\,i
| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}
\alpha ! = \alpha_{1}! \alpha_{2}! \ldots \alpha_{n}!
{\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\ldots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}}
\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}
D^{\alpha} := D_{1}^{\alpha_{1}} D_{2}^{\alpha_{2}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, където D_{i}^{j}:=\part^{j} / \part x_{i}^{j}

Тази нотация позволява разширяването на всяка формула от елементарния анализ до вариант с много параметри. Следват няколко примера на приложението на мултииндексите:

  • Ред:
 \left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}^{}{\frac{k!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}
  • Формула на Лайбниц: за гладките функции u, v
D^{\alpha}(uv) = \sum_{\nu \le \alpha}^{}{{\alpha \choose \nu}D^{\nu}u\,D^{\alpha-\nu}v}
f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}}

Теорема[редактиране | edit source]

Теоремата за мултииндексите гласи: Ако i,k са мултииндекси в \mathbb{N}^n, и x=(x_1,\ldots, x_n), то тогава

 \part^i x^k = 
\left\{\begin{matrix} 
\frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} & ,\, i\le k\\ 
 0 & ,i>k \end{matrix}\right.