Мултииндекс

Мултииндекс е вид опростяване на формули в анализа на функции с много параметри, частните диференциални уравнения и теорията за обобщената функция, което генерализира концепцията за целочислен индекс до наредено множество от индекси.

Може да се каже, че N-измерен мултииндекс е N-измерен вектор над естествените числа

$\alpha = (\alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots,\alpha_{n})$

За мултииндексите $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n$ и $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n$ се дефинират:

$\alpha \pm \beta:= (\alpha_{1} \pm \beta_{1},\,\alpha_{2} \pm \beta_{2}, \ldots, \,\alpha_{n} \pm \beta_{n})$

$\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad \forall\,i$

$| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}$

$\alpha ! = \alpha_{1}! \alpha_{2}! \ldots \alpha_{n}!$

${\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\ldots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}}$

$\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$

$D^{\alpha} := D_{1}^{\alpha_{1}} D_{2}^{\alpha_{2}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}$, където $D_{i}^{j}:=\part^{j} / \part x_{i}^{j}$

Тази нотация позволява разширяването на всяка формула от елементарния анализ до вариант с много параметри. Следват няколко примера на приложението на мултииндексите:

• Ред:

$\left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}^{}{\frac{k!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}$

• Формула на Лайбниц: за гладките функции u, v

$D^{\alpha}(uv) = \sum_{\nu \le \alpha}^{}{{\alpha \choose \nu}D^{\nu}u\,D^{\alpha-\nu}v}$

• Ред на Тейлър: за аналитични функции f

$f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}}$

Теорема

Теоремата за мултииндексите гласи: Ако $i,k$ са мултииндекси в $\mathbb{N}^n$, и $x=(x_1,\ldots, x_n)$, то тогава

$\part^i x^k = \left\{\begin{matrix} \frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} & ,\, i\le k\\ 0 & ,i>k \end{matrix}\right.$