Мултипликативна функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Мултипликативна функция в теорията на числата е аритметична функция f(n), дефинирана върху множеството на естествените числа, която има свойството, че f(1)=1 и ако a и b са взаимно прости, то

f(ab)=f(a)f(b).

Аритметичната функция f(n) се нарича напълно (изцяло) мултипликативна ако f(1) = 1 и f(ab) = f(a) f(b) за всички естествени числа a и b, дори и когато не са взаимно прости.

Извън теорията на числата, понятието мултипликативен обикновено се използва за функции за които f(ab) = f(a) f(b) за всички параметри a и b; тогава или f(1) = 1, или f(a) = 0 за всички a освен a = 1. Тази статия се отнася за теоретико-числовите мултипликативни функции.

Свойства на аритеметичните мултипликативни функции[редактиране | edit source]

Лема. Мултипликативните функции се определят еднозначно от техните стойности за простите числа.


Лема. f(n)\, е мултипликативна тогава и само тогава, когато и

g(n)=\sum_{a|n}f(a)\,

е мултипликативна функция.

Лема. Ако f_1(n)\, и f_2(n)\, са мултипликативни, то и тяхната конволюция

(f_1*f_2)(n)=\sum_{a|n}f_1(a)f_2\left(\frac{n}{a}\right)\,

е също мултипликативна.