Непрекъснатост

Казваме че функцията f(x) е непрекъсната в точка а, ако границата:

$\displaystyle\lim_{x\to\ a} f(x) = f(a)$

Графика на непрекъсната функция в интервала [-5,9]

Интуитивно, една функция е непрекъсната в даден интервал, ако можем да нарисуваме графиката ѝ без да вдигаме молива от листа.

Ако функцията не е непрекъсната в точка а, казваме че точката а е точка на прекъсване.

Забелязваме, че условието за непрекъснатост налага следните изисквания:

1. Функцията f(x) е дефинирана в областта около точка а.
2. Границата $\displaystyle\lim_{x\to\ a} f(x)$ съществува.
3. Границата $\displaystyle\lim_{x\to\ a} f(x) = f(a)$
4. Лявата и дясната граница са равни:

$\displaystyle\lim_{x\to\ a+0} f(x) = \lim_{x\to\ a-0} f(x) = f(a)$

Непрекъснатостта на една функция е необходимо, но недостатъчно условие за диференцируемостта на функцията. Обратно, диференцируемостта на дадена функция не е необходимо, но е достатъчно условие за непрекъснатостта на функцията.

Вижте също

• Диференцируемост
• Функция на Вайерщрас - непрекъсната за всяко реално х, но недиференцируема за всяко реално x