Неравенство на Карамата

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Неравенството на Карамата, наречено на сръбския математик Йован Карамата, още известно като мажорационно неравенство, е теорема от елементарната алгебра.

Ако е дадена функция f:\mathcal{I}\rightarrow\mathbb{R}, изпъкнала в интервала \mathcal{I}, тогава за всеки две мажориращи се редици \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\succ \{y_1,y_2,\ldots,y_n\} е изпълнено:

f(x_1)+\cdots+f(x_n)\ge f(y_1)+\cdots+f(y_n).

Доказателство:

Първо нека положим c_i = \frac {f(y_{i}) - f(x_{i})}{y_{i} - x_i}, което поради изпъкналостта на функцищта f(x) и мажорирането на редиците \mathbf{x} и \mathbf{y}, образува ненамаляваща редица. Тоест

c_i\ge c_{i+1}\Leftrightarrow \frac {f(y_{i}) - f(x_{i})}{y_{i} - x_i}\ge \frac {f(y_{i+1}) - f(x_{i+1})}{y_{i+1} - x_{i+1}}.



Това следва последователно от \frac {b - c}{a - c} f(a) + \frac {a - b}{a - c} f(c) \ge f(b) = f(\frac {b - c}{a - c} a + \frac {a - b}{a - c} c)\Leftrightarrow \frac {f(a) - f(c)}{a - c} \ge \frac {f(b) - f(c)}{b - c} за a\ge b, което е дефиницията за изпъкналост. Тогава от факта, че x_1 \ge x_2\ge\ldots\ge x_n и y_1\ge y_2\ge\ldots\ge y_n, се получава

\frac {f(y_{i}) - f(x_{i})}{y_{i} - x_i}\ge \frac {f(y_{i}) - f(x_{i+1})}{y_{i} - x_{i+1}}\ge\frac {f(y_{i+1}) - f(x_{i+1})}{y_{i+1} - x_{i+1}}.



Полагаме A_k=x_1+\ldots+x_k и B_k=y_1+\ldots+y_k за k=1,2,\ldots,n и заради мажорирането A_k\ge B_k за k=1,2,\ldots,n-1 и A_n=B_n.

В такъв случай \sum^{n}_{i = 1}(f(x_i) - f(y_i) )= \sum^{n}_{i = 1}c_i(x_i - y_i) =  \sum^{n}_{i = 1}(c_i - c_{i + 1})(x_1 + x_2 + ... + x_i) - \sum^{n}_{i = 1}(c_i - c_{i + 1})(y_1 + y_2 + ... + y_i) = = \sum^{n - 1}_{i = 1}(c_i - c_{i + 1})(A_i - B_i) + c_n(A_n - B_n), което очевидно е по-голямо от 0.


Пример[редактиране | edit source]

Ако вместо (y_1,y_2,\ldots,y_n) използваме редицата \left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n},\cdots,\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right), ще получим неравенството на Йенсен.

Вижте също[редактиране | edit source]