Обикновено диференциално уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Определение за ОДУ от n-ти ред. Определение за СОДУ[редактиране | edit source]

Уравнение от вида F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0, където x е независима променлива, y е неизвестна функция, а y^{'},...,y^{(n)} са нейните производни до ред n, се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от n-ти ред.[1]

Диференциални уравнения от първи ред[редактиране | edit source]

Хомогенни диференциални уравнения[редактиране | edit source]

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

{a_0{{d^n y} \over {dx^n}}} + a_1{{d^{n-1}y} \over {dx^{n-1}}}+...+a_{n-1}{{dy} \over dx}+ a_n.y = b
,

където a и b могат да са функции на x или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение n-тата производна спрямо x се обозначава с D^{n}. Ползвайки този оператор D горното диференциално уравнение може да се запише като:

{a_0D^ny + a_1D^{n-1}y+...+a_{n-1}Dy + a_ny = b}.

Ако b=0, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако b \ne 0, уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от първи ред[редактиране | edit source]

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред[редактиране | edit source]

a{{d^2 y} \over {dx^2}} + b{{dy} \over {dx}}+cy =0
При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D - имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

Dy = dy/dx
(D+1)y=dy/dx +y
(D-2)(D+1)y =(D-2)(dy/dx +y)=d^2y/dx^2 +dy/dx -2dy/dx -2y= D^2y -Dy -2y
(D-2)(D+1)y = (D^2 -D -2)y

Забележете че D има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с D можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: aD^2y+bDy+cy=0 => (aD^2+bD+c)y=0.

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:  \mathbf{ a(D-y_1)(D-y_2)y=0}.

Полагаме

 z= (D-y_2)y , където (D-y_2)y е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

(D-y_1)z =0
{dz \over dx}- y_1.z = 0

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

{dz \over dx}= y_1.z
{dz \over z}- y_1.dx =0
ln {z \over C_1}= y_1.x

z=C_1.e^{y_1.x}

Заместваме полученият резултат за z в

(D-y_2)y = C_1.e^{y_1.x}


Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

dy -y_2.y.dx = C_1.e^{y_1.x}.dx

y'-y_2.y= C_1 .e^{y_1.x}


(y.e^{-y_2.x})'= y'e^{-y_2.x} - y. e^{-y_2.x}.y_2=e^{-y_2.x}.(y' - y_2.y)

y'-y_2.y= (y.e^{-y_2.x})'.e^{y_2.x} =   C_1 .e^{y_1.x}

(y.e^{-y_2.x})' =   C_1 .e^{y_1.x}.e^{-y_2.x} = C_1 .e^{(y_1 -y_2).x}


интегрираме и получаваме следното решение:

y.e^{-y_2.x}=  \int C_1.e^{(y_1 -y_2).x}dx  + C_2


Преобразуваме:

y=  e^{y_2.x}.\int C_1.e^{(y_1-y_2).x}dx  + C_2.e^{y_2.x}

Когато y_{1} и y_{2} са реални числа, решението за функцията y е:

y= c_1e^{y_1.x} + c_2.e^{y_2.x}

Вижте също[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  1. Математика, доц. д-р Добромир Тодоров и гл. ас. Кирил Николов, УНСС, София, 2009