Обикновено диференциално уравнение

Определение за ОДУ от $n$-ти ред. Определение за СОДУ

Уравнение от вида $F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0$, където $x$ е независима променлива, $y$ е неизвестна функция, а $y^{'},...,y^{(n)}$ са нейните производни до ред $n$, се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от $n$-ти ред.

Хомогенни диференциални уравнения

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

${a_0{{d^n y} \over {dx^n}}} + a_1{{d^{n-1}y} \over {dx^{n-1}}}+...+a_{n-1}{{dy} \over dx}+ a_n.y = b$,

където $a$ и $b$ могат да са функции на $x$ или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение $n$-тата производна спрямо $x$ се обозначава с $D^{n}$. Ползвайки този оператор $D$ горното диференциално уравнение може да се запише като:

${a_0D^ny + a_1D^{n-1}y+...+a_{n-1}Dy + a_ny = b}.$

Ако $b=0$, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако $b \ne 0$, уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред

$a{{d^2 y} \over {dx^2}} + b{{dy} \over {dx}}+cy =0$

При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D - имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

$Dy = dy/dx$

$(D+1)y=dy/dx +y$

$(D-2)(D+1)y =(D-2)(dy/dx +y)=d^2y/dx^2 +dy/dx -2dy/dx -2y= D^2y -Dy -2y$

$(D-2)(D+1)y = (D^2 -D -2)y$

Забележете че $D$ има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с $D$ можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: $aD^2y+bDy+cy=0$ => $(aD^2+bD+c)y=0.$

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме: $\mathbf{ a(D-y_1)(D-y_2)y=0}.$

Полагаме

$z= (D-y_2)y$ , където $(D-y_2)y$ е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

$(D-y_1)z =0$

${dz \over dx}- y_1.z = 0$

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

${dz \over dx}= y_1.z$

${dz \over z}- y_1.dx =0$

$ln {z \over C_1}= y_1.x$

$z=C_1.e^{y_1.x}$

Заместваме полученият резултат за z в

$(D-y_2)y = C_1.e^{y_1.x}$

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

$dy -y_2.y.dx = C_1.e^{y_1.x}.dx$

$y'-y_2.y= C_1 .e^{y_1.x}$

$(y.e^{-y_2.x})'= y'e^{-y_2.x} - y. e^{-y_2.x}.y_2=e^{-y_2.x}.(y' - y_2.y)$

$y'-y_2.y= (y.e^{-y_2.x})'.e^{y_2.x} = C_1 .e^{y_1.x}$

$(y.e^{-y_2.x})' = C_1 .e^{y_1.x}.e^{-y_2.x} = C_1 .e^{(y_1 -y_2).x}$

интегрираме и получаваме следното решение:

$y.e^{-y_2.x}= \int C_1.e^{(y_1 -y_2).x}dx + C_2$

Преобразуваме:

$y= e^{y_2.x}.\int C_1.e^{(y_1-y_2).x}dx + C_2.e^{y_2.x}$

Когато $y_{1}$ и $y_{2}$ са реални числа, решението за функцията $y$ е:

$y= c_1e^{y_1.x} + c_2.e^{y_2.x}$

Вижте също

• Методи на Рунге-Кута