Оператор на Лагранж

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Най-често операторът на Лагранж се дефинира като разликата между кинетичната и потенциалната енергия на една система:

L = T - V

В тримерното пространство операторът на Лагранж за механична система е:

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}).

Уравнението на Ойлер-Лагранж е:

m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0
където точката обозначава производна спрямо времето, а набла (или дел) е оператор:
\nabla = \begin{pmatrix}
{\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z}
\end{pmatrix}

Механиката на Лагранж представлява различен начин на представяне на Нютоновата механика.

\vec{F}=- \nabla V(x)

Това уравнение е равнозначно на Втория закон на Нютон:

\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}
или в по-общата формула:
\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}


За тримерно пространство:

\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r).
, r, θ, φ - сферични координати


Уравненията на Ойлер-Лагранж са:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,
\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.