Паралелепипед

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Правоъгълен паралелепипед

Паралелепипед (от гръцки: παράλλος - паралелен; επιπεδον - плоскост) е геометрично тяло с шест стени и дванадесет ръба, които са два по два успоредни, и осем върха. Той е частен случай на четиристенна призма с основа успоредник. Най-често се разглежда вариантът, при който всички стени сключват прав ъгъл с неуспоредните на тях - правоъгълен паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед, чийто ръбове са еднакво дълги, се нарича куб. Всички стени на произволен паралелепипед са успоредници, на правоъгълен паралелепипед - правоъгълници, а на куб - квадрати.

Първата известна употреба на наименованието е в ЕвклидовитеЕлементи“.

Обем[редактиране | edit source]

Обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на дължината, ширината и височината му. При куба те са равни и обемът му е равен на трета степен от дължината на страната. Общия случай може чрез разместване да бъде приведен към правоъгълен паралелепипед и обемът на произволен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата по височината му.

 V = S_{ABCD} \cdot h

Възможно е обема да бъде изчислен с методите на векторното смятане: ако един от върховете бъде приет за начало на декартова координатна система и трите ръба, излизащи от върха бъдат представени като вектори a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) и c = (c1, c2, c3), то обемът е равен на смесеното произведение на векторите a · (b × c). Числената стойност е равна на модула на детерминантата:

 V = \big| \left| \begin{matrix}
        a_1 & b_1 & c_1 \\
        a_2 & b_2 & c_2 \\
        a_3 & b_3 & c_3
 \end{matrix} \right| \big|

Свойства[редактиране | edit source]

Някои геометрични свойства на паралелепипеда са:

  • паралелепипедът е централно-симетричен спрямо средата на телесния му диагонал (следствие от централната симетрия на стените му);
    • всяка отсечка с краища върху паралелепипед и минаваща през средата на телесния му диагонал се разполовява от тази среда;
    • в частност всички телесни диагонали се пресичат и разполовяват в една точка;
  • успоредните помежду си ръбове на паралелепипеда са равни по дължина;
  • успоредните стени са еднакви успоредници и съответно имат еднакви обиколка и площ;
  • квадрата на дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му размерности (следствие от Питагоровата теорема).