Платоново тяло

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Платовите тела са правилни многостени, които се характеризират с еднакви правилни многоъгълници за стени и равни многостенни ъгли.

Съществуват само пет правилни изпъкнали многостена.

Тъй като в многостенен (телесен) ъгъл с n ръба сборът от ръбните ъгли трябва да бъде по-малък от 360 градуса, ъгли на правилните многоъгълници могат да бъдат само ъгли от 108, 90 и 60 градуса, т.е. в един връх на платоново тяло могат да се срещат 3 петоъгълника, 3 четириъгълника, 5, 4 или 3 триъгълника. Поради тази причина съществуват пет платонови тела (правилни многостени). Така подредени те се наричат: додекаедър (дванадесетостен), хексаедър или куб, икосаедър (двадесетостен), октаедър (осмостен) и тетраедър (четиристен).

Платоново тяло	Стени	Брой стени	Брой ръбове	Брой върхове	Брой стени през връх	Повърхнина S	Обем V
Тетраедър	триъгълник	4	6	4	3	$S = a^2\sqrt{3}$	$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
Хексаедър (куб)	квадрат	6	12	8	3	$S = 6a^2 \,$	$V = a^3 \,$
Октаедър	триъгълник	8	12	6	4	$S = 2a^3\sqrt{3}$	$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$
Додекаедър	петоъгълник	12	30	20	3	$S = 3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}$	$V = \frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}$
Икосаедър	триъгълник	20	30	12	5	$S = 5a^2\sqrt{3}$	$V = \frac{5a^3(3+\sqrt{5})}{12}$

[редактиране] История

Правилните многостени носят името на Платон, който в съчинението си "Тимей" (IV в.пр.н.е.) им придава мистичен смисъл. Известни са и преди Платон. Описани са в края на книга ХІІІ на "Елементи" на Евклид, но са изследвани системно от Теетет.

Йохан Кеплер се опитва да построи модел на Слънчевата система, като вписва и описва правилни многоъгълници в сфера. Това не му се удава напълно, но му помага да разработи прочутите "закони на Кеплер" за движението на планетите.

Във времето на ранния атомизъм атомите са били представяни като платонови тела.