Поле (алгебра)

В алгебрата поле (F, +, ·) се нарича множество F, в което са дефинирани две бинарни операции (наричани обикновено събиране и умножение и обозначавани с „+“ и „·“), ако отговаря на следните условия:

1. затворено е спрямо двете операции;
2. двете операции са асоциативни и комутативни;
3. съществуват неутрални елементи спрямо двете операции (най-често наричани „нула“ и „единица“);
4. съществуват обратни елементи за всеки елемент спрямо първата операция и спрямо втората за всеки елемент без единичния елемент на първата операция („нулевия елемент“);

Други определения

Възможни са други определения при използване на термини за множества, частично удовлетворяващи горните условия:

• поле е комутативен пръстен c единица, в който всички ненулеви елементи са обратими;
• поле е комутативно тяло;
• множеството F е поле, ако образува комутативна група по отношение на събирането и всички ненулеви елементи образуват комутативна група по отношение на умножението. В сила са дистрибутивните закони, които свързват двете операции.

Аксиоматично определение за поле

Множеството A се нарича поле ако в него са дефинирани две операции (адитивна и мултипликативна) и ∀a,b,c∈A са верни следните твърдения:

• a + b = b + a
• (a + b) + c = a + (b + c)
• Съществува неутрален елемент за адитивната операция 0∈A

a + 0 = a

∀a∈A ∃(-a)∈A: a + (-a) = 0

• a . b = b . a
• (a . b) . c = a . (b . c)
• Съществува неутрален елемент за мултипликативната операция 1∈A (0≠1)

a . 1 = a

∀a∈A, a≠0 ∃(a^-1)∈A: a . a^-1 = 1

• (a + b) . c = a . c + b . c

Примери

• $\mathbb{Q}$ — множеството на рационалните числа,
• $\mathbb{R}$ — множеството на реалните числа,
• $\mathbb{C}$ — множеството на комплексните числа,
• $\mathbb{Z}_p$ — множеството от остатъци по модул p, където p е просто число.
• $\mathbb{F}_q$ — крайни полета с $q=p^k$ елемента, където p е просто, а k — естествено число.