Поле (алгебра)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В алгебрата поле (F, +, ·) се нарича множество F, в което са дефинирани две бинарни операции (наричани обикновено събиране и умножение и обозначавани с „+“ и „·“), ако отговаря на следните условия:

  1. затворено е спрямо двете операции;
  2. двете операции са асоциативни и комутативни;
  3. съществуват неутрални елементи спрямо двете операции (най-често наричани „нула“ и „единица“);
  4. съществуват обратни елементи за всеки елемент спрямо първата операция и спрямо втората за всеки елемент без единичния елемент на първата операция („нулевия елемент“);

Други определения[редактиране | edit source]

Възможни са други определения при използване на термини за множества, частично удовлетворяващи горните условия:

  • поле е комутативен пръстен c единица, в който всички ненулеви елементи са обратими;
  • поле е комутативно тяло;
  • множеството F е поле, ако образува комутативна група по отношение на събирането и всички ненулеви елементи образуват комутативна група по отношение на умножението. В сила са дистрибутивните закони, които свързват двете операции.

Аксиоматично определение за поле[редактиране | edit source]

Множеството A се нарича поле ако в него са дефинирани две операции (адитивна и мултипликативна) и ∀a,b,c∈A са верни следните твърдения:

  • a + b = b + a
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • Съществува неутрален елемент за адитивната операция 0∈A
a + 0 = a
∀a∈A ∃(-a)∈A: a + (-a) = 0
  • a . b = b . a
  • (a . b) . c = a . (b . c)
  • Съществува неутрален елемент за мултипликативната операция 1∈A (0≠1)
a . 1 = a
∀a∈A, a≠0 ∃(a-1)∈A: a . a-1 = 1
  • (a + b) . c = a . c + b . c

Примери[редактиране | edit source]