Полилинейна алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В алгебрата, полилинейната алгебра се явява обобщение на линейната алгебра, изучаващо полилинейни изображения (функции на няколко променливи) между модули (в частност, между векторни пространства). Името произлиза от определението на полилинейните изображения, т.е. това са функции, линейни по всяка една от променливите си. Основна роля в полилинейната алгебра играят тензорното произведение, тензорите върху векторни пространства и билинейните и квадратични форми.

Основни понятия[редактиране | edit source]

Нека M_1,M_2,...,M_k, M, N са R-модули, където R е комутативен пръстен с единица. Нека \phi : M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_k \mapsto M е изображение от декартовото произведение M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_k върху M. Изображението \phi ще наричаме полилинейно изображение ако е изпълнено  \begin{align}
\phi (m_1, \ldots, m_{i-1}, am_{i_1}+bm_{i_2}, m_{i+1}, \ldots ,m_k) = \\
 = a \phi(m_1, \ldots , m_{i-1}, m_{i_1}, m_{i+1}, \ldots , m_k) + b\phi(m_1, \ldots , m_{i-1}, m_{i_2}, m_{i+1}, \ldots , m_k),  \forall a, b \in R, m_i \in M_i.
\end{align}

Основна задача в мултилинейната алгебра е изучаването на полилинейни изображения да се сведе до изучаване на линейни изображения. При дадени M и \phi и някое полилинейно изображение \psi : M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_k \mapsto N, да се намери единствен хомоморфизъм f : M \mapsto N, такъв че: f \circ \phi = \psi. Тогава записваме  M = M_1 \otimes_{R} M_2 \otimes_{R} \ldots \otimes_{R} M_k и \phi (m_1, m_2, \ldots, m_k ) = m_1 \otimes_{R} m_2 \otimes_{R} \ldots \otimes_{R} m_k. Произведението  M = M_1 \otimes_{R} M_2 \otimes_{R} \ldots \otimes_{R} M_k наричаме тензорно произведение на M_1,M_2,...,M_k относно R.

Литература[редактиране | edit source]

  • Маклейн, С., Биркхоф, Г. (1974) Съвременна алгебра, София, Наука и изкуство.
  • Кострикин, А., Манин,Ю. (1990) Линейна алгебра и геометрия, София, Наука и изкуство.