Производна

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Графиката на функция (в черно) и допирателната (в червено). Диференчното частно на допирателната е равно на производната в дадената точка.

Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.

Определение[редактиране | edit source]

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x0 от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) — като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}, то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x0.

Частното \frac{\Delta y}{\Delta x} се нарича диференчно частно.

С други думи, производна на функцията f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 {(\Delta x\rightarrow 0}).

Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране.

Означения при диференциране[редактиране | edit source]

Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.

Означение на Лайбниц[редактиране | edit source]

Означението за производна представено от Готфрид Лайбниц е едно от първите. То все още се използва когато уравнението y = ƒ(x) се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимете променливи. Първата производна се означава:

 \frac{dy}{dx} (произнася се "де игрек де хикс")

Означение на Лагранж[редактиране | edit source]

Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на Жозеф Луи Лагранж. Първата производна се означава:

f'(x)\, ( произнася се "еф прим хикс")

Означение на Нютон[редактиране | edit source]

\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t), \ddot{x} = x''(t)

Означение на Ойлер[редактиране | edit source]

D_x f(x) \; - за първа производна,
{D_x}^2 f(x) \; - за втора производна, и
{D_x}^n f(x) \; - за n-та производна при n > 1

Изчисляване на производни[редактиране | edit source]

Правила за диференциране[редактиране | edit source]

  1. Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
  2. (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
  3. (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) - u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) - u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv - u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
  4. (h(g(x)))' = h'[g(x)] g'(x)
  5. (uv)(n)=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}формула на Лайбниц.
  6. (u/v)′ = (u′v−uv′)/v2. Доказателство: Δ(u/v) = u( x + Δx ) / v( x + Δx ) − u( x ) / v( x ) = ( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ) =

( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx) ) = ( Δu( x )v( x ) - u( x )Δv( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ) , границата е равна на (u′v−uv′)/v2.

Производни на някои функции[редактиране | edit source]

  1. const' = 0 (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
  2. (ax)′ = ax ln a , в частност, (ex)′ = ex
  3. (logax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
  4. (xa)′ = axa−1
  5. (\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  6. (sin x)′ = cos x (синус)
  7. (cos x)′ = −sin x (косинус)
  8. (tg x)′ = \frac{1}{\cos^{2}x} (тангенс)
  9. (cоtg x)′ = -\frac{1}{\sin^{2}x} (котангенс)
  10. (arcsin x)′ = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (аркуссинус)
  11. (arccos x)′ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (аркускосинус)
  12. (arctg x)′ = \frac{1}{1+x^{2}} (аркустангенс)
  13. (arcctg x)′ = -\frac{1}{1+x^{2}} (аркускотангенс)

Примерно пресмятане[редактиране | edit source]

Производната на функцията

f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,

е равна на:


\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
      &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x.
\end{align}

Смисъл на понятието[редактиране | edit source]

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t0) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t0.

Геометричен и физически смисъл на производната[редактиране | edit source]

Геометрично представяне на понятието[редактиране | edit source]

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

Скорост на изменението на функцията път[редактиране | edit source]

Нека s = s(t) е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава v(t_0) = s'(t_0) изразява моментната скорост на движението в момента от времето t_0. Втората производна a(t_0) = s''(t_0) изразява ускорението в момента t_0.

Въобще производната на функцията y = f(x) в точката x_0 изразява скоростта на изменение на функцията в точката x_0.

Производни от по-висок ред[редактиране | edit source]

Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. - производни от по-висок ред.

Функцията f може да няма производна - например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека

 f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.

Елементарно пресмятане показва, че f е диференцуема функция, чиято производна е

f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.

f′(x) няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има k производни за някакво цяло неотрицателно k, но да няма производна от (k + 1)-ви ред.

Вижте още[редактиране | edit source]

Функция

Граница (математика)

Интеграл