Производна

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.

Съдържание

1 Определение
2 Правила за диференциране
3 Производни на някои функции
4 Смисъл на понятието
5 Геометричен и физически смисъл на производната
- 5.1 Геометрично представяне на понятието
- 5.2 Скорост на изменението на функцията път
6 Производни от по-висок ред
7 Вижте още

[редактиране] Определение

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x₀ от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x₀, а нарастването на функцията (Δy) — като f(x)−f(x₀). Тогава, ако съществува граница $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$ , то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x₀.

Частното $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ се нарича диференчно частно.

С други думи, производна на функцията f(x) за дадена стойност (x₀) се нарича границата (ако съществува) на отношениято на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 ${(\Delta x\rightarrow 0}$ ).

Производната може да се означи като:

f′(x) (означение на Лагранж)( произнася се "еф прим хикс")
$\frac{dy}{dx}$ (означение на Лайбниц) (де игрек де хикс)
$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)$ , $\ddot{x} = x''(t)$

означения на Исак Нютон s/* $D_x f(x) \;$ - за първа производна,

${D_x}^2 f(x) \;$ - за втора производна, и
${D_x}^n f(x) \;$ - за n-та производна при n > 1

означение на Ойлер

Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране.

[редактиране] Правила за диференциране

Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
(u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
(u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) - u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) - u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv - u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
$(h (g (x)))' = h'[g (x)] g'(x)$
(uv)⁽ⁿ⁾= $\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$ — формула на Лайбниц.
(u/v)′ = (u′v−uv′)/v². Докажем: Δ(u/v) = u(x+Δx)/v(x+Δx)−u(x)/v(x) = (u(x+Δx)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−u(x)v(x+Δx))/(v(x)u(x+Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v².

[редактиране] Производни на някои функции

(const)′ = 0 (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
(a^x)′ = a^x ln a , в частност, (e^x)′ = e^x
(log_ax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
(x^a)′ = ax^a−1
$(\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
(sin x)′ = cos x (синус)
(cos x)′ = −sin x (косинус)
(tg x)′ = $\frac{1}{cos^{2}x}$ (тангенс)
(ctg x)′ = $-\frac{1}{sin^{2}x}$ (котангенс)
(arcsin x)′ = $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ (аркуссинус)
(arccos x)′ = $-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ (аркускосинус)
(arctg x)′ = $\frac{1}{1+x^{2}}$ (аркустангенс)
(arcctg x)′ = $-\frac{1}{1+x^{2}}$ (аркускотангенс)

[редактиране] Смисъл на понятието

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t₀), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t₀) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t₀.

[редактиране] Геометричен и физически смисъл на производната

[редактиране] Геометрично представяне на понятието

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

[редактиране] Скорост на изменението на функцията път

Нека $s = s (t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава $v (t 0) = s'(t 0)$ изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t 0 .$ Втората производна $a (t 0) = s''(t 0)$ изразява ускорението в момента $t 0 .$

Въобще производната на функцията $y = f (x)$ в точката $x 0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x 0$ .

[редактиране] Производни от по-висок ред

Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. - производни от по-висок ред.

Функцията f може да няма производна - например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.$

Елементарно пресмятане показва, че f е диференцуема функция, чиято производна е

$f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}$ .

f′(x) няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има k производни за някакво цяло неотрицателно k, но да няма производна от (k + 1)-ви ред.