Прост идеал

Прост идеал в теория на пръстените е алгебрична структура, вид идеал удоволетворяващ допълнителни условия, подобна на понятието просто число от теория на числата.

Общо определение

Нека $R\,$ пръстен и $P\,$ е собствен идеал на пръстена. Нека $A\,$ и $B\,$ са два произволни идеала на $R\,$. $P\,$ е прост идеал на $R\,$, ако от това, че произведението $AB \subset P$, следва, че или $A \subset P$ или $B \subset P$.

Определение за комутативни пръстени

Нека $R\,$ е комутативен пръстен с единица, $P\,$ е собствен идеал на пръстена и $x, y \in R$. $P\,$ е прост идеал на $R\,$, ако от $x, y \in P$ следва $x \in P$ или $y \in P$.

Горното условие може да се изрази и по следните еквивалентни начини:

• $x \not\in P, y \not\in P \Rightarrow xy \not\in P$
• $x_{1}...x_{n} \in P \Rightarrow \exists x_{i} \in P, \ i=1...n$
• $P\,$ е прост идеал за пръстена $R\,$, когата факторпръстена $P\,$ е област.