Сигма-алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката и по-специално в теорията на мярката, \sigma-алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество X представлява непразна система \Sigma от подмножества на X, която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи.Наредената двойка (X,\Sigma) се нарича измеримо пространство.

Дефиниция[редактиране | edit source]

Нека X е множество. Множеството \Sigma, елементите, на което са подмножества на X, се нарича \sigma-алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1. \empty \in \Sigma
2. за всяко множество E \in \Sigma \Rightarrow X \setminus E \in \Sigma (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)
3. за всяка редица (E_n)_{n \in \N} от елементи на \Sigma множеството \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n е също елемент на \Sigma (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията[редактиране | edit source]

От точки 1 и 2 следва, че X\in\Sigma, а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: X \setminus (\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (X \setminus E_n), т.е. \Sigma е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства[редактиране | edit source]

Ако \mathcal{A} e фамилия от \sigma-алгебри, то тогава нейното сечение

\cap \mathcal{A} := \{ E \in \mathfrak{P}(X) : \forall \Sigma \in \mathcal{A}(E \in \Sigma)\}

е отново \sigma-алгебра. Ако \Sigma e \sigma-алгебра върху X и Y е подмножество на X, то тогава рестрикцията

\Sigma_Y := \{ E \cap Y : E \in \Sigma \}

е \sigma-алгебра върху Y.

Породена \sigma-алгебра[редактиране | edit source]

Нека \mathfrak{E} \subseteq \mathfrak{P}(X) бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество X \ne \empty. Тогава чрез \mathfrak{E} може да се формира специална \sigma-алгебра, наречена \sigma-алгебра породена от \mathfrak{E}. Бележи се със \sigma(\mathfrak{E}) и се дефинира по следния начин : Нека \mathcal{A} бележи фамилията от \sigma-алгебри върху X и нека \mathbb{A} := \{ \Sigma \in \mathcal{A} : \mathfrak{E} \subseteq \Sigma \}, т.е. \mathbb{A} представлява фамилия от всички \sigma-алгебри, които съдържат \mathfrak{E} като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

\sigma(\mathfrak{E}) := \bigcap_{\Sigma \in \mathbb{A}}^{} \Sigma

е \sigma-алгебра. Тя е най-малката \sigma-алгебра, на която \mathfrak{E} е подмножество.

Борелова сигма-алгебра[редактиране | edit source]

Нека \mathfrak{O}_n обозначава системата от отворените подмножества на \R^n, n \in \N. Тогава

\mathfrak{B}_n := \sigma(\mathfrak{O}_n)

се нарича борелова \sigma-алгебра върху \R^n. Елементите на \mathfrak{B}_n се наричат борелови множества.

Примери[редактиране | edit source]

  • Най-малката \sigma-алгебра e множеството от подмножвества {\empty,X} на X, а най-голямата е булеанът \mathfrak{P}(X) .
  • \Sigma=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\} e сигма-алгебра върху X=\{1,2,3,4\}.
  • В контекста на теорията на вероятностите, системата \mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{P}(\Omega) от подмножества на пространството на елементарните събития \Omega представлява \sigma-алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на \mathfrak{A} се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху \mathfrak{A}, наредената тройка (\Omega,\mathfrak{A},P) се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра[редактиране | edit source]

  • За X := \{0,1,2,3\} и \mathfrak{E} = \{\{2\},\{0,1,2\}\} следва
\sigma(\mathfrak{E}) = \{\empty,\{2\},\{3\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}.

Външни препратки[редактиране | edit source]

Литература[редактиране | edit source]

Енциклопедични статии:
Учебници и монографии: