Сигма-алгебра

В математиката и по-специално в теорията на мярката, $\sigma$-алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество $X$ представлява непразна система $\Sigma$ от подмножества на $X$, която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи.Наредената двойка $(X,\Sigma)$ се нарича измеримо пространство.

Дефиниция

Нека $X$ е множество. Множеството $\Sigma$, елементите, на което са подмножества на $X$, се нарича $\sigma$-алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1. $\empty \in \Sigma$

2. за всяко множество $E \in \Sigma \Rightarrow X \setminus E \in \Sigma$ (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)

3. за всяка редица $(E_n)_{n \in \N}$ от елементи на $\Sigma$ множеството $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$ е също елемент на $\Sigma$ (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията

От точки 1 и 2 следва, че $X\in\Sigma$, а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: $X \setminus (\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n) = \bigcup_{n=1}^{\infty} (X \setminus E_n)$, т.е. $\Sigma$ е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства

Ако $\mathcal{A}$ e фамилия от $\sigma$-алгебри, то тогава нейното сечение

$\cap \mathcal{A} := \{ E \in \mathfrak{P}(X) : \forall \Sigma \in \mathcal{A}(E \in \Sigma)\}$

е отново $\sigma$-алгебра. Ако $\Sigma$ e $\sigma$-алгебра върху $X$ и $Y$ е подмножество на $X$, то тогава рестрикцията

$\Sigma_Y := \{ E \cap Y : E \in \Sigma \}$

е $\sigma$-алгебра върху Y.

Породена $\sigma$-алгебра

Нека $\mathfrak{E} \subseteq \mathfrak{P}(X)$ бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество $X \ne \empty$. Тогава чрез $\mathfrak{E}$ може да се формира специална $\sigma$-алгебра, наречена $\sigma$-алгебра породена от $\mathfrak{E}$. Бележи се със $\sigma(\mathfrak{E})$ и се дефинира по следния начин : Нека $\mathcal{A}$ бележи фамилията от $\sigma$-алгебри върху $X$ и нека $\mathbb{A} := \{ \Sigma \in \mathcal{A} : \mathfrak{E} \subseteq \Sigma \}$, т.е. $\mathbb{A}$ представлява фамилия от всички $\sigma$-алгебри, които съдържат $\mathfrak{E}$ като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

$\sigma(\mathfrak{E}) := \bigcap_{\Sigma \in \mathbb{A}}^{} \Sigma$

е $\sigma$-алгебра. Тя е най-малката $\sigma$-алгебра, на която $\mathfrak{E}$ е подмножество.

Борелова сигма-алгебра

Нека $\mathfrak{O}_n$ обозначава системата от отворените подмножества на $\R^n, n \in \N$. Тогава

$\mathfrak{B}_n := \sigma(\mathfrak{O}_n)$

се нарича борелова $\sigma$-алгебра върху $\R^n$. Елементите на $\mathfrak{B}_n$ се наричат борелови множества.

Примери

• Най-малката $\sigma$-алгебра e множеството от подмножвества {$\empty,X$} на $X$, а най-голямата е булеанът $\mathfrak{P}(X)$ .
• $\Sigma=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}$ e сигма-алгебра върху $X=\{1,2,3,4\}$.
• В контекста на теорията на вероятностите, системата $\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{P}(\Omega)$ от подмножества на пространството на елементарните събития $\Omega$ представлява $\sigma$-алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на $\mathfrak{A}$ се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху $\mathfrak{A}$, наредената тройка $(\Omega,\mathfrak{A},P)$ се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра

• За $X := \{0,1,2,3\}$ и $\mathfrak{E} = \{\{2\},\{0,1,2\}\}$ следва

$\sigma(\mathfrak{E}) = \{\empty,\{2\},\{3\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}$.

Външни препратки

• Чернова Н.: Теория вероятностей, 1 курс ЭФ, отделение экономики, § 1.

Литература

Енциклопедични статии:

• Сазонов В.: Алебра множеств в Математическая энциклопедия, том 1 (с допълнителна литература)

Учебници и монографии:

• Floret, K.: Maß- und Integrationstheorie, Teubner
• Srivastava S.: A Course on Borel Sets, Springer, Berlin, 1998, ISBN 0-387-98412-7
• Elstrodt J.: Maß- und Integrationstheorie, Springer, 2009, ISBN 3-54089-7275
• Окстоби Дж.: Мера и категория, Мир, 1974
• Артамонов В.А. и др.: Общая алгебра, том 2, Москва, 1991