Сигма-функция (теория на числата)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Сигма-функцията e мултипликативна аритметична функция, дефинирана за всяко естествено число като сумата от неговите делители. Използва се означението: \sigma(n)\,. Освен σ-функцията интерес за теорията на числата представляват σ*- и σx-функциите:

\sigma^{*}(n)=\sum_{{d|n \atop d\neq n}}d,\qquad \sigma_{x}(n)=\sum_{d|n }d^x

При това означение[1]:

\sigma(n)=\sigma^{*}(n)+n=\sigma_{1}(n),\,

а на τ-функцията може да се гледа като на частен случай на σx-функциите:

\tau(n)=\sigma_{0}(n).\,

Стойности[редактиране | edit source]

  • За всяко просто число p\,:
\sigma_x(p)=p^x+1\,
\sigma_x(p^\alpha)=\frac{p^{(\alpha+1)x}-1}{p^x-1}=\sum_{i=0}^{\alpha}p^{ix}
  • За съставно n=\prod_{i=1}^{m}p^{\alpha_i}_i:
\sigma_x(n)=\prod_{i=1}^{m}\sigma(p_i^{\alpha_ix})=\prod_{i=1}^{m}\frac{p^{(\alpha_i+1)x}-1}{p_i^x-1}=\prod_{i=1}^{m}\sum_{k=0}^{\alpha_i}p_i^{kx}

Таблица на стойностите за n<100[редактиране | edit source]

\sigma(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 3 4 7 6 12 8 15 13
1+ 18 12 28 14 24 24 31 18 39 20
2+ 42 32 36 24 60 31 42 40 56 30
3+ 72 32 63 48 54 48 91 38 60 56
4+ 90 42 96 44 84 78 72 48 124 57
5+ 93 72 98 54 120 72 120 80 90 60
6+ 168 62 96 104 127 84 144 68 126 96
7+ 144 72 195 74 114 124 140 96 168 80
8+ 186 121 126 84 224 108 132 120 180 90
9+ 234 112 168 128 144 120 252 98 171 156

Свойства[редактиране | edit source]

Алгебрични свойства[редактиране | edit source]

В пръстена на аритметичните функции σ-функцията е елемент от подгрупата на мултипликативните функции, като [2]: \sigma_x=\iota_0*\iota_x.\, Инверсните елементи на σx-функциите в тази група са функциите[3]:

\left(\sigma_{x}^{-1}\right)(p^k)=\begin{cases}1  \text{,} & k=0 \\ -1-p^x  \text{,} & k=1 \\ p^x  \text{,} & k=2 \\ 0  \text{,} & k>2\end{cases}

Може да се покаже[3], че \sigma_{x}^{-1}=(\iota_x\mu)*\mu\,, a в частния случай x=0: \sigma_{0}^{-1}=\mu^2\,, както и[2]: \sigma_{-x}=\iota_{-x}\sigma_{x}.\,

Редове на Дирихле[редактиране | edit source]

\sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_x(n)}{n^s}=\zeta(s)\cdot\zeta(s-x)
  • За комплексни z такива, че реалните части на z, z-x, 'Двенадцать лекций о Рамануджане, 2002, ISBN 5-93972-123-0, лекция IV (4.3)</ref>:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_x(n)\sigma_y(n)}{n^z}=\frac{\zeta(z)\zeta(z-x)\zeta(z-y)\zeta(z-x-y)}{\zeta(2z-x-y)}

Осреднена стойност на σ-функциите[редактиране | edit source]

За осреднената стойност на σx-функциите са доказани (за s>1) приблизителните оценки[4],[5],[6]:

\sum_{n\leq s}\sigma_{x}(n)=\begin{cases}\frac{\pi^2}{12}s^2+O(s\ln s)  \text{,} & x=1 \\ \frac{\zeta(x+1)}{x+1}s^{x+1}+O\left(s^{\max\{1,x\}}\right)   \text{,} & x>0,\ x\neq 1 \\ \frac{\pi^2}{6}s+O(\ln s)  \text{,} & x=-1 \\ \zeta(1-x)s+O\left(s^{\max\{0,1+x\}}\right)  \text{,} &x<0,\ x\neq -1 \end{cases}

Други осреднени стойности[редактиране | edit source]

  • Нека m е цяло число по-голямо от единица, а f_m(s) да са дефинирани както следва:
f_m(s)=\frac{1}{s^m}\left(\sum_{n\leq s}\sigma_m(n)-\frac{s^{m+1}}{k+1}\zeta(m+1)\right).
В сила е:[7]
\limsup_{s\rightarrow\infty}f_m(s)=\frac{1}{2}\zeta(m)
\liminf_{s\rightarrow\infty}f_m(s)=-\frac{1}{2}\zeta(m)
  • Може да се покаже, че:[8],,[9]
\sum_{n\leq s}\sigma_{-1}(n)=\frac{\pi^2}{6}s-\frac{1}{2}\ln s+O(\ln^{2/3}s)
\sum_{n\leq s}\sigma_{x}^2(n)=\frac{\zeta(2x+1)\zeta^2(x+1)}{(2x+1)\zeta(2x+2)}s^{2x+1}+\begin{cases}O(s^{2x}) \text{,} & x>1 \\ O(s^2\ln^{5/3}s)   \text{,} & x=1 \\ O(s^{3/2}\ln^2 s)  \text{,} & x=\frac{1}{2} \\ O(s^{x+1}\ln s)   \text{,} &x<1,\ x\neq \frac{1}{2} \end{cases}
  • За полиноми f(n) с цели коефициенти и x\in [-1;0) е в сила:[13],[14]
\sum_{n\leq s \atop f(n)\neq 0}\sigma_{x}(f(n))=c_{f}(x)s+O(s^{1+x} \ln^{C} s)
Тук C е константа, а
c_{f}(x)=\sum_{k=1}^\infty \sum_{{k|f(n)} \atop {0<n\leq k}} k^{x-1}.
\sum_{m,n\leq s}\sigma_{x}(n^2+m^2)=s^{2+2x}\cdot\int_{0}^1\int_0^1(t^2+u^2)^x \mathrm{d}t \mathrm{d}u +O(s^{2+x}\ln s)

Неравенства[редактиране | edit source]

Оценки на σ(n)[редактиране | edit source]

Графично представяне на поведението на σ-функцията
  • За всяко n различно от 1,2,3,4,6 и 8 е изпълнено (неравенство на Анапурна),[16],[17]:
\sigma(n)<\frac{6}{\pi^2}\cdot n^{\frac{3}{2}}
  • За всяко съставно n (неравенство на Серпински)[18],[17],[19]:
\sigma(n)> n+n^{\frac{1}{2}}
  • За всяко n>30 e в сила:
\sigma^{\perp}(n)<\frac{28}{15}\cdot n\ln \ln n.[20]

Оценки σ(n)/n[редактиране | edit source]

  • Неравенство на Сатианараиана[18],[21],[22]:
\sigma_{-1}(n)<2^{1-(n\bmod 2)}\left(\frac{3}{2}\right)^{\omega(n)}
където \omega(n) представлява броят на различните прости делители на n.[23]

Връзка между σ(n) и 4φ(n)[редактиране | edit source]

  • Нека n e четно и 4\varphi(n)=\sigma(n). Тогава[24]:
4n\leq \sigma(2n)
  • Нека n e нечетно и \varphi(n)\leq\sigma(n). Тогава[24]:
4n< \sigma(2n)\,
  • Нека с P(n) е означен най-голямият прост делител на n. В сила е:[25]
\sigma(n)\leq 4^{(n\bmod 2)}\varphi(n)P(n)

Други неравенства[редактиране | edit source]

  • За всеки две цели числа m и n по-големи от единица:[26]
\sigma(mn)>\sigma(n)+\sigma(m)\,
  • За всяко съставно n:[27]
\frac{\sigma(n)}{\Omega(n)}\leq n,

където \Omega(n) е броят на простите делители на n.[23]

  • Неравенство на Лангфорд[18],[28]:
\sigma(n)\leq \frac{1}{2}(n+1)\sigma_0(n)
като равенството е изпълнено тогава и само тогава когато n e просто число.
  • За всеки две естесвени n и m (неравенство на Сиварамакришнан-Венкатараман)[18]:
\sigma_m(n)\geq n^{\frac{m}{2}}\cdot\sigma_0(n)
  • Може да се докаже и следното неравенство:
\sum_{n\leq s}\sigma_{-1}^2(n) \leq s\cdot\zeta^2\left(\frac{3}{2}\right) [29],[30]

Други свойства[редактиране | edit source]

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}
f(\lambda)=\lim_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{s}\cdot Card(\{n:\lambda\leq\sigma_{-1}(n);\ n\leq s\})
е дефинирана и непрекъсната във всяка реална точка λ.[33]

Приложения[редактиране | edit source]

σ-функцията, както и останалите мултипликативни аритметични функции (по-сп. τ-, φ-, μ-, ψ-, а също така немултипликативните Λ-, Ω- и ω- функции), са от повече от век обект на интензивни изследвания поради връзката им (чрез редовете на Дирихле) с ζ-функцията и поради свързаните с евентуални нови резултати около тях надежди за решаване на шестия "проблем на хилядолетието" (доказателство на хипотезата на Риман) или за поне частични успехи по други все още незадоволително решени въпроси от теорията на числата.

През 1915 Ингам дава елегантно доказателство за липсата на нули на ζ-функцията по оста Re[z] = 1 използвайки формулата на Рамануджан и по-специално частния ѝ случай:[34]

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma^2_0(n)}{n^z}=\frac{\zeta^4(z)}{\zeta(2z)}.

Значението на изследването на σ-функцията показва доказаната от Робин зависимост: хипотезата на Риман е вярна тогава и само тогава, когато неравенството

(\#)\qquad f(n)=\frac{\sigma(n)}{n\ln\ln n}<e^{\gamma},\,

е вярно за всяко n>5040, където \gamma=0.5772... е константата на Ойлер-Маскарони. Най-дорият известен досега резултат в тази посока е на Ердьош (1989):[35]

f(n)<e^{\gamma}-\frac{2\sqrt{2}-2-\gamma+\ln(4\pi)}{\ln^{\frac{1}{2}}n\cdot\ln\ln n} +O(\ln^{- \frac{1}{2}} n\cdot \ln^{-2}\ln n).

Появата на константата e^\gamma в тези неравенства не е случайна. Още през 1913 е доказано, че

\limsup_{n\rightarrow\infty}f(n)=e^{\gamma}.\,

тоест, че дадената в неравенството (#) горна граница за f(n) не може да бъде подобрена (теорема на Грьонвал (Гронуол)). Еквивалентно с верността на хипотезата на Риман е и неравенството[36]

\sigma(n)\leq H_n + e^{H_n}\cdot\ln H_n,

където \{H\}_n е редицата на хармоничните числа. Хипотезата на Оре пък дава връзка между σ-функцията и друг костелив проблем от теория на числа: въпроса за съществуването на нечетни съвършени числа.

Интересни приложения на σ-функцията в адитивната теория на числата показва теоремата на Якоби (броят на различните представяния на n като сума от четири квадрата е равен на 8\sigma(n)-32\sigma(n/4) за n кратно на четири и на 8\sigma(n) в противен случай[3],[18]). Теоремата на Якоби и асимптотичната оценка за средната стойност на σx-функциите позволяват да се изследват проблеми от геометричната теория на числата. С тяхна помощ може например да се покаже, че броят на точки с цели координати в n-мерно кълбо с радиус r e равен (за n>3) на V(r)r^{n/2}+O(r^{(r-1)/2}\ln r), където с V(r) е означен обема на кълбото[18].

Обобщения и специални случаи[редактиране | edit source]

σ-функцията може да се обобщи и за гаусовите цели числа като:

\sigma(z)=\prod_{i=1}^{k}\frac{\pi^{\alpha_i+1}-1}{\pi_i-1}

където \{\pi_i\}_{i=1,...,N}\, са прости делители на z, такива, че \operatorname{Re}[\pi_i]>0, \operatorname{Im}[\pi_i]\geq 0 за всяко i=1,...,N\, и

z=\varepsilon \prod_{i=1}^{k}\pi^{\alpha_i}

за някой единичен елемент \varepsilon.\,[37],[17]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. Няколко думи за използваните означения: В някои източници с σ*(n) се обозначава сумата от онези делители d на n, за които d и (n/d) са взаимно прости. Ние ще бележим тази сума с σ. Функцията \tau(n) често бива означавана с d(n). Със \sigma^m(n) ще бележим m-тата степен на \sigma(n): \sigma^m(n)=\sigma^{m-1}(n)\sigma(n), \sigma^1(n)=\sigma(n), \sigma^{-m}(n)=1/\sigma^m(n). Под \sigma^m(n) понякога се разбира m-тата итерация на σ-функцията. За итерациите на σ ще използаме означението:\sigma^{(m)}(n)=\sigma^{(m-1)}(\sigma(n)), \sigma^{(1)}(n)=\sigma(n), а с \sigma^{m} и (\sigma^{m})(n) ще бележим m-тата степен на σ в групата на мултипликативните функции: \sigma^{m}=\sigma^{m-1}*\sigma, \sigma^{1}=\sigma, \sigma^m=\sigma^{-m}*ε (тук * означава конволюция на Дирихле).
  2. а б Bundschuh, P., Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-55178-6, 1.4.10
  3. а б в Siemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISSN 1435-6511, 5.5, 8.15.4 и 8.7
  4. Apostol, T. M., Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976, ISBN 0-387-90163-9, 3.6
  5. Оценката на грешката O(s(\ln(s))) при x=1 е дадена още от Дирихле в книгата му Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. По-прецизна e оценката на Валфиц: O(s(\ln^{2/3}(s))) (Walfisz A., Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin, 1963). Виж. още Macleod R. A., Fractional part sums and divisors functions, Number Theory, 14, (1982), стр. 185-227. Грешката със сигурност не е o(x\ln(\ln(x)) (Gronwall T. H., Some asymptotic expressions in the theory of numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 14, 1913, стр. 113-122).
  6. За случая x=0 виж. задача на Дирихле.
  7. MacLeod R. A., An external result for divisor functions, J. Number Theory, 23, 1986, стр. 365-366
  8. Walfisz A., Weylsche Exponentialsummen in der neuren Zahlentheorie, Berlin, 1963
  9. Многобройни изследвания на тази осреднена стойност има и Y. F.-S. Peteremann.
  10. Ramanujan S., Some formulae in the analytic theory of numbers, Messanger Math., 45, 1916, стр. 81-84
  11. Toth L., Generalizations of an asymptotic formula of Ramanujan, Studia Univ. "Babes-Bolyai", 31, 1986, стр. 9-15
  12. Smith R. A., An error term of Ramanujan, J. Numer Theory, 2, 1970, стр. 91-96
  13. Erdos P., On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff, J. Chise Math. Soc. (N.S.), 1, 1951
  14. Babaev G., Gafurov N., Ismoilov D., Some asymptotic formulas connected with divisors of polynomials, Trudy Mat. Inst. Steklov, 163, 1984, стр. 10-18
  15. Gafurov N., Asymptotic formulas for the sum of powers of divisors of the quadratic form, Dokl. Akad. Nauk. Tadzhik SSR, 32, 1989, стр. 427-431
  16. Annapurna V., Inequalities of σ(n) and φ(n), Math. Mag., 45, 1972, стр. 187-190
  17. а б в Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.
  18. а б в г д е E. Krätzel, Zahlentherie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaft, Berlin, 1981, 5.9, 6.2 и 6.6
  19. Sierpinski W., Elemntary theory of numbers, Warszawa, 1964
  20. , Ivic A., Two inequalties for the sum of divisor function, Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak., 7, стр. 17-22"
  21. Satyanarayana M., Bounds of σ(N), Math. Student, 28, 1960, стр. 79-81
  22. В сила е нещо повече (J. Sandor, Ibid. и Handbook of Number Theory, 1996, III.1): Нека m и n са естесвени числа, a B(m,n)=\Pi((p^m-1)/(p-1)), където p пробягва всички прости делители на n. Нека още \gamma(n) е произведението на различните прости делители на n, тогава: B(m,n)\sigma_{-m}(n)(\gamma(n))^{1-m}<2^{1-(n\pmod 2)}(3/2)^{\omega(n)-1+(n\pmod 2)}. Както наблюдателният читател вече сигурно е забелязал, неравенство на Сатианараиана е частен случай на това неравенство за k=1 и нечетно n, а за четни n посоченото неравенство представлява негово подобрение. Друго подобрение дава Duncan R. L., Some estimates for σ(n), Amer. Math. Monthly, 74, 1967, стр. 713-715: \sigma(n)/n < (7\omega(n)+10)/6.
  23. а б Виж Омега-функция.
  24. а б Makowski A., Remarks on some problems in the elementary theory of numbers, Acta Math. Univ. Comenian,50,51, 1987 стр. 277-281
  25. Atanassov K. T., Remarks on φ, σ and ohter functions, C.R. Acad. Bulgare Sci., 41, 1988, стр. 41-44
  26. Hundsucker J.L., Nebb J., Problem B 260, Fib. Quart., 11, 1973, 221 Solution, Bruckmna P.S., Fib. Quart., 12, 1974, стр. 223-224
  27. Sandor J., Remarks on two papers by K.T. Atanasov, Bull. Number Theory Rel. Topics, 12, 1988, стр. 56-59
  28. Mitrinovic D.S., Popadic M.S., Inequalities in the number theory, Nis, 1978, стр. 44
  29. а б Scheid, H., Zahlentheorie, BI-Wiss.-Verl., 1991, ISBN 3-411-14841-1, V.7.8 и V.7.22
  30. Това неравенство намира съществено приложение в доказателството на теоремата на Уоринг-Хилберт (виж. например в Scheid VII.7).
  31. Subbarao, M. V., On Two Congruences for Primality, Pacific J. Math. 52, 1974, стр. 261-268
  32. Pomerance C., On the congruences σ(n)≡a (mod n) and n≡a (mod φ(n)), Acta. Arith., 26, 1975, стр. 265-272
  33. Davenport H., Über numeri abundantes, Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber, 26-29, 1933, стр. 830-837
  34. Харди, Г., Двенадцать лекций о Рамануджане, 2002, ISBN 5-93972-123-0, лекция IV (4.3)
  35. Нервенство без символи на Ландау: f(n)<e^\gamma+0.6482(\ln(\ln(n)))^{-2} (доказателство на Robin G., Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypoth`ese de Riemann, J. Math. Pures Appl., 63, 1984, стр. 187–213)
  36. Lagarias J. C, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis, Amer. Math. Monthly , 109 (2002), стр.534-543, (в диг. форм. постскрипт)
  37. Тази дефиниция позволява да се въведе понятието гаусови съвършени числа: \sigma(z)=(i+i)z и гаусови нормалносъвършени числа: |\sigma(z)|=2|z|.

Външни препратки[редактиране | edit source]