Синусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В тригонометрията синусовата теорема се отнася до триъгълник в равнината. Ако страните на триъгълника са означени с a, b и c, а ъглите срещу тях със A, B и C, тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност. {a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = 2R

Тази формула се използва, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако знаем 2 ъгъла и третата страна, което е основен проблем при триангулацията. Може да се използва и ако са известни две от страните и едни от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава формулата ще даде 2 решения, за сключения между известните ни страни, ъгъл. Реципрочното число - a/sin(A)) е равно на диаметъра на окръжността, описана около триъгълника. Това може да се изрази по следния начин:

{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = 2R = d.

Или така:

d = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4) }}

където

р е полупериметъра
p = \frac{(a+b+c)} {2}

Доказателство[редактиране | edit source]

Law of sines proof.png

Нека е даден триъгълник със страни a, b, и c и срещулежащи ъгли A, B, и C. Нека спуснем от върха C перпендикуляр към страната c и да го обозначим с h. Така получихме 2 правоъгълни триъгълника

За тях е вярно:

\sin A = \frac{h}{b} и \; \sin B = \frac{h}{a}

Следователно:

h = b\,\sin A = a\,\sin B

и

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.

Същото ще получим и ако спуснем перпендикуляр от върха А към страната a:

\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Вижте също[редактиране | edit source]

А /sin a = B / sin b = C / sin c = 2r = D