Скаларно произведение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Scalarproduct.gif

Скаларното произведение на два вектора \vec{a} и \vec{b} е число (скалар), което е равно на произведението от големините им и косинуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно скаларното произведение на два вектора може да приема и положителни, и отрицателни стойности. Скаларното произведение на нулевия вектор с всеки друг вектор е равно на 0.

 \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b}
=
\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{pmatrix}^T
\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{pmatrix} 
= a_1 b_1  + a_2 b_2 + a_3 b_3 
= \Vert\vec{a}\Vert \Vert\vec{b}\Vert \cos(\theta)


Свойства[редактиране | edit source]

  • \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}
  • \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})= \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}
  • (k\vec{a})\cdot\vec{b}= k(\vec{a}\cdot\vec{b})

Намиране на ъгъл между две прави чрез скаларно произведение на вектори[редактиране | edit source]

Ако AB и CD са две прави и φ е ъгълът между тях, то cos(φ) е равен на модула от скаларното произведение на векторите AB и CD, разделено на произведението на дължините на отсечките AB и CD.

\cos(\theta) =  {\vec{a}\cdot\vec{b} \over \Vert\vec{a}\Vert \Vert\vec{b}\Vert}

Важно свойство на скаларното произведение на два вектора е, че ако правите AB и CD са перпендикулярни, скаларното произведение на AB и CD е равно на 0, защото cos(90°)=0.

Намиране дължина на отсечка[редактиране | edit source]

Голямо практическо приложение скаларното произведение на векторите намира при търсенето на дължина на отсечка. Тъй като ъгълът между два равни вектора е 0°, косинусът на този ъгъл винаги е 1. Следователно коренът от AB умножено по себе си е равен на дължината на отсечката AB.