Сходяща редица

Граница на числова редица

Граница на дадена числова редица $(a_n)$ е число $l$ точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число $\epsilon > 0$ може да се намери такова число N(ε), че всички членове а_n на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l - ε, l + ε), т. е. да е изпълнено |а_n - l| < ε за всички n > N(ε).

$\lim_{n \rightarrow \infty} (a_{n}) = l$

По-интуитивно определение е следното: Дадено число $l$ е граница на числовата редица $(a_n)$, ако всяка околност ( "всяка околност" е интервалът $(l-\epsilon, l+\epsilon)$ за произволно $\epsilon > 0$) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Свойства на сходящите редици

• Ако редиците (a_n), (b_n) и (c_n) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n.$

$\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n.$

$\lim_{n \to \infty} (a_n . b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n . \lim_{n \to \infty} b_n.$

$\lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n} = \frac {\lim_{n \to \infty} a_n } { \lim_{n \to \infty} b_n}.$

за b_n ≠ 0 и $\lim_{n \to \infty} b_n$ ≠ 0.

$\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n$ за c = const.

$\lim_{n \to \infty} (c_1a_n + c_2b_n) = c_1 \lim_{n \to \infty} a_n + c_2 \lim_{n \to \infty} b_n$

при с₁ = const, c₂ = const.

$\lim_{n \to \infty} \log_b a_n = log_b a$ при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

$lim_{n \to \infty} {a_n}^p = a^p$ при а > 0 и произволно р.

По-общо определение за сходяща редица

• За редица от точки $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;$ в метрично пространство M с функция-дължина d (например, редица от рационални числа, реални числа, комплексни числа, точки в нормирано пространство, и др.):

Ако $L\in M\;$ казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

$L = \lim_{n \to \infty} x_n$

$\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exists N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\;$

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяко реално число $\epsilon>0\;$, съществува естествено число N такова, че за всяко $n>N\;$ е изпълнено $d(x_n,L)<\epsilon.\;$

• Като обобщение на горното за редица от точки $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;$ в топологично пространство T:

Ако $L\in T\;$ казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

$L = \lim_{n \to \infty} x_n$

$\Longleftrightarrow \forall U(L) \; \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \; x_n \in U(L)$

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяка околност S на L съществува естествено число N такова, че $x_n\in S\;$ за всяко $n>N.\;$

Ако една редица има граница, казваме, че е сходяща или че редицата клони към някаква граница. В противен случай редицата е разходяща.

Примери

• Редицата 1, -1, 1, -1, 1, ... е разходяща.
• Редицата 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... е сходяща и има граница 1. Това е пример за безкраен ред.
• Ако a е реално число с абсолютна стойност |a| < 1, то редицата aⁿ клони към 0. Ако 0 < a ≤ 1, то редицата a^1/n клони към 1.

Още:

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0$ при p > 0.

$\lim_{n\to\infty} a^n = 0$ при |a| < 1.

$\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$.

$\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1$ при a > 0.