Съседен клас

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В теория на групите, левите/десни съседни класове на група G\, по дадена подгрупа H\,, представляват съвкупности от множества, получени чрез умножаване (или събиране, ако записът е адитивен) отляво/отдясно на елементите от групата с всички елементи на подгрупата. Ако левите съседни класове съвпадат със съответните десни съседни класове за всеки елемент на групата, то подгрупата H\, се нарича нормална подгрупа на G\,.

Формално определение[редактиране | edit source]

Нека G\, е група с мултипликативен запис на операцията, H \leq G\, е нейна подгрупа и е даден елемент g \in G\,. Множеството gH = \{gh\,|\,h \in H \} се нарича ляв съседен клас на G\, по H\,. Множеството Hg = \{hg\,|\,h \in H \} е десен съседен клас на G\, по H\,.

Свойства[редактиране | edit source]

Всеки елемент на групата принадлежи на някой ляв/десен съседен клас.

Един елемент g \in G\, принадлежи на дадена подгрупа H \leq G\,, когато gH\, и Hg\, съвпадат с H\,, т.е. g \in H \iff gH = H = Hg.

Всеки два различни леви/десни съседни класа нямат общи елементи. Ако два леви/десни съседни класа притежават общ елемент, то те съвпадат.

Всяка крайна група (група с краен брой елементи) има еднакъв брой леви и десни съседни класове по дадена подгрупа. Ред на крайна група |G|\, е броя на елементите на G\,

Ако подгрупата, по-която се формират съседните класове, е крайна, то броят на елементите в подгрупата е равен на броя на елементите в съседния ляв/десен клас  |H| = |gH| = |Hg|\,.

Единствено eH = H = He\, е ляв/десен съседен клас, който е подгрупа на G\,, където с e\, отбелязваме единичния елемент на G\,.

Теорема на Лагранж[редактиране | edit source]

Нека G\, е крайна група и H\, е нейна подгрупа. Индекс |G:H|\, на H\, в G\,, е броят на левите (десни) съседни класове на G\, по H\,.

Теорема:  |G| = |H||G:H|\,.

Теоремата е наречена на Лагранж — един от пионерите на теория на групите. Първото доказателство е на Абати от 1803.