Съседен клас

В теория на групите, левите/десни съседни класове на група $G\,$ по дадена подгрупа $H\,$, представляват съвкупности от множества, получени чрез умножаване (или събиране, ако записът е адитивен) отляво/отдясно на елементите от групата с всички елементи на подгрупата. Ако левите съседни класове съвпадат със съответните десни съседни класове за всеки елемент на групата, то подгрупата $H\,$ се нарича нормална подгрупа на $G\,$.

Формално определение

Нека $G\,$ е група с мултипликативен запис на операцията, $H \leq G\,$ е нейна подгрупа и е даден елемент $g \in G\,$. Множеството $gH = \{gh\,|\,h \in H \}$ се нарича ляв съседен клас на $G\,$ по $H\,$. Множеството $Hg = \{hg\,|\,h \in H \}$ е десен съседен клас на $G\,$ по $H\,$.

Свойства

Всеки елемент на групата принадлежи на някой ляв/десен съседен клас.

Един елемент $g \in G\,$ принадлежи на дадена подгрупа $H \leq G\,$, когато $gH\,$ и $Hg\,$ съвпадат с $H\,$, т.е. $g \in H \iff gH = H = Hg$.

Всеки два различни леви/десни съседни класа нямат общи елементи. Ако два леви/десни съседни класа притежават общ елемент, то те съвпадат.

Всяка крайна група (група с краен брой елементи) има еднакъв брой леви и десни съседни класове по дадена подгрупа. Ред на крайна група $|G|\,$ е броя на елементите на $G\,$

Ако подгрупата, по-която се формират съседните класове, е крайна, то броят на елементите в подгрупата е равен на броя на елементите в съседния ляв/десен клас $|H| = |gH| = |Hg|\,$.

Единствено $eH = H = He\,$ е ляв/десен съседен клас, който е подгрупа на $G\,$, където с $e\,$ отбелязваме единичния елемент на $G\,$.

Теорема на Лагранж

Нека $G\,$ е крайна група и $H\,$ е нейна подгрупа. Индекс $|G:H|\,$ на $H\,$ в $G\,$, е броят на левите (десни) съседни класове на $G\,$ по $H\,$.

Теорема: $|G| = |H||G:H|\,$.

Теоремата е наречена на Лагранж — един от пионерите на теория на групите. Първото доказателство е на Абати от 1803.