Телеграфни уравнения

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Телеграфните уравнения са двойка линейни диференциални уравнения, които описват напрежението и тока на електропреносна линия във времето и по дължината на линията (пространството). Уравненията са съставени от Оливър Хевисайд, който разработва и модела на преносната линия. Теорията е приложима за високочестотните (вълноводни) линии (като телеграфни и радиочестотни линии), но също е важна и при проектиране на високоволтовите електропроводи за пренасяне на електроенергия. Моделът демонстрира разпространението и отражението на електромагнитни вълни в линията и появата на определени вълнови структури по дължината.

Хомогенна линия[редактиране | edit source]

Фиг.1 - Заместваща схема на елемент от електропроводна линия dx

За хомогенна електропроводна линия телеграфните уравнения имат следния вид:

\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}-L'C'\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2}-(L'G'+R'C')\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-R'G'u(x,t)=0


\frac{\partial^2i(x,t)}{\partial x^2}-L'C'\frac{\partial^2i(x,t)}{\partial t^2}-(L'G'+R'C')\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}-R'G'i(x,t)=0

Ще се разгледат процесите свързани с единичен хомогенен проводник провеждащ електрически ток и имащ електрически потенциал спрямо земята. Поради омичното съпровтивление на проводника по протежението, на който тече променлив електрически ток, възниква пад на напрежение. Освен това електрическият ток е свързан с променливо магнитно поле, което от своя страна индуцира в проводника електродвижещо напрежение. Поради тези причини напрежението по протежение на проводника не е постоянно. При високи напрежения съответно високи честоти не може да се пренебрегнат, както токът на отместване в диелектрика (токът на електрическата индукция), така и токът дължащ се на макар и малката електрическа проводимост на диелектрика (несъвършена изолация, омични загуби в диелектрика). Откъдето и токът по протежение на линията променя своята стойност. За определяне на изменението на напрежението и тока по дължината на проводника се изхожда от малък елемент от него с дължина dx и се сумират въздействията на всички такива елементи. При това се приема, че съпротивлението, индуктивността, капацитета и проводимостта на проводника са равномерно разпределени по дължината му. На единица дължина се пада винаги едно и също съпротивление R', една и съща индуктивност L', един и същи капацитет C' и една и съща проводимост G'. Това е трудно изпълнимо на практика, особено при електропреносните линии, поради използването на изолатори в различни точки по дължината на линията, на които се окачват проводниците и поради провеса на последните и неговото изменение с дължината. Проводник, който изпълнява горните допускания със задоволителна за практиката точност се приема за хомогенен. Върху проводников елемент на един хомогенен проводник с дължина dx, се падат съпротивление R'dx, индуктивност L'dx, капацитет C'dx и проводимост G'dx показани на фиг. 1.

За представената по-горе схема от законите на Кирхоф следва:

-u+R'dxi+L'dx\frac{\partial i}{\partial t}+u+\frac{\partial u}{\partial x}dx=0

i=C'dx\frac{\partial }{\partial t}\left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)+\left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)G'dx+i+\frac{\partial i}{\partial x}dx

След разкриване на скобите, разделяне на dx и пренебрегване на членовете от висок ред се получава:

-\frac{\partial u}{\partial x}=R'i+L'\frac{\partial i}{\partial t}


-\frac{\partial i}{\partial x}=G'u+C'\frac{\partial u}{\partial t}

При по-нататъшно диференциране на горните две уравнение (първото по x, второто по t) се получава:

-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=R'\frac{\partial i}{\partial x}+L'\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial i}{\partial t}\right)

-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial i}{\partial x}\right)=G'\frac{\partial u}{\partial t}+C'\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}

След замествания в горните уранения се получават телеграфните уранения:

\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}-L'C'\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial t^2}-(L'G'+R'C')\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-R'G'u(x,t)=0


\frac{\partial^2i(x,t)}{\partial x^2}-L'C'\frac{\partial^2i(x,t)}{\partial t^2}-(L'G'+R'C')\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}-R'G'i(x,t)=0

Уравнения при синусоидални напрежение и ток. Решение[редактиране | edit source]

Когато напрежението и тока на линията са синусоидални функции във времето, то те могат да се представят с комплексни моментни стойности:

\underline{u}=\sqrt{2}\underline{U_x}e^{j\omega t}

\underline{i}=\sqrt{2}\underline{I_x}e^{j\omega t},

където подчертаването изразява комплексен вид (може и с точка над величината), j=\sqrt{-1}, a \omega кръговата честота на синусоидалните величини. Две от ураненията представени по-горе се записват в комплексен вид:

-\frac{\partial\underline{U_x}}{\partial x}=(R'+j\omega L')\underline{I_x}=\underline{Z'}\underline{I_x}

-\frac{\partial\underline{I_x}}{\partial x}=(G'+j\omega C')\underline{U_x}=\underline{Y'}\underline{U_x}

След диференциране по x се получава:

-\frac{\partial^2\underline{U_x}}{\partial x^2}=\underline{Z'}\frac{\partial\underline{I_x}}{\partial x}

или

\frac{\partial^2\underline{U_x}}{\partial x^2}=\underline{Z'}\underline{Y'}\underline{U_x}=\gamma^2\underline{U_x}

\gamma=\sqrt{\underline{Z'}\underline{Y'}}=\alpha+j\cdot\beta

Величината \gamma се нарича константа на разпространение. Решението на уравнението \frac{\partial^2\underline{U_x}}{\partial x^2}=\gamma^2\underline{U_x} е:

\underline{U_x}=\underline{U_1}e^{-\gamma x}+\underline{U_2}e^{\gamma x}

За тока се получава:

\underline{I_x}=-\frac{1}{Z'}\frac{\partial\underline{U_x}}{\partial{x}}

или

\underline{I_x}=\frac{\gamma}{\underline{Z'}}\underline{U_1}e^{-\gamma x}-\frac{\gamma}{\underline{Z'}}\underline{U_2}e^{\gamma x}

Въвежда се величината:

\underline{Z_w}=\frac{\underline Z'}{\gamma}=\frac{R'+j\omega L'}{\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}}=\sqrt{\frac{R'+j\omega L'}{G'+j\omega C'}}

Така за тока се получава:

\underline{I_x}=\frac{\underline{U_1}}{\underline{Z_w}}e^{-\gamma x}-\frac{\underline{U_2}}{\underline{Z_w}}e^{\gamma x}

Величината \underline{Z_w} има размерност на съпротивление и се нарича вълново съпротивление на линията.

Нека в началото на проводника (x=0) напрежението и тока са съотетно \underline{U_0} и \underline{I_0}, тогава за тока и напрежението в произволна точка x по дължината на линията се получава:

\underline{U_x}=\underline{U_0}\cosh{\gamma x}-\underline{Z_w}\underline{I_0}\sinh{\gamma x}

\underline{I_x}=\underline{I_0}\cosh{\gamma x}-\frac{\underline{U_0}}{\underline{Z_w}}\sinh{\gamma x}

Относно \underline{U_0} и \underline{I_0} решенията са:

\underline{U_0}=\underline{U_x}\cosh{\gamma x}+\underline{Z_w}\underline{I_x}\sinh{\gamma x}

\underline{I_0}=\underline{I_x}\cosh{\gamma x}+\frac{\underline{U_x}}{\underline{Z_w}}\sinh{\gamma x}

Ако са дадени напрежението и тока на края на линията, съответно \underline{U_a} и \underline{I_a}, то уравненията са:

\underline{U_x}=\underline{U_a}\cosh{\gamma x}+\underline{Z_w}\underline{I_a}\sinh{\gamma x}

\underline{I_x}=\underline{I_a}\cosh{\gamma x}+\frac{\underline{U_a}}{\underline{Z_w}}\sinh{\gamma x}

Видове електропреносни линии[редактиране | edit source]

1) Линия без загуби

R'=0,G'=0

Вълнов импеданс

Z_w=\sqrt{\frac{L'}{C'}},   [\Omega]

Константа на разпространение (равна на фазовата константа j\beta)

\gamma=j\beta=j\omega\sqrt{L'C'}, \alpha=0

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

V_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{L'C'}}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}},    [m/s]

2) Линия без деформации

Към този клас могат да се определят електропроводните линии за пренасяне на електроенергия. При тези линии се приема, че импеданса Z_w и константата на затихване \alpha на линията (параметрите на линията) не зависят от честотата, т.е. електромагнитната вълна се разпространява без изкривявания (деформации).

За такава линия е в сила следната зависимост:

\frac{R'}{L'}=\frac{G'}{C'}

Вълнов импеданс

Z_w=\sqrt{\frac{L'}{C'}},    [\Omega]

Константа на разпространение

\gamma=\alpha+j\beta=R'\sqrt{\frac{C'}{L'}}+j\omega\sqrt{L'C'}

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

V_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{L'C'}}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}},    [m/s]

Обща форма на телеграфното уравнение[редактиране | edit source]

Телеграфното уравнение (независимо от разглежданите величини) е частно диференциално уравнение (при C_2 > 0 хиперболично, при C_2 < 0 елиптично и при C_2 = 0 параболично) и има следния най-общ вид:

\Delta \vec F = C_2 \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+C_1 \frac{\partial \vec F}{\partial t}+C_0 \vec F.

В тази си форма то представя редица явления от физиката описвани с подобни уравнения (по специални случаи на телграфното уравнение: Вълново уравнение, Дифузно уравнение, Уравнение на Хелмхолц, Потенциално уравнение) и се използва най-общо в много задачи от физиката и инженерни изчисления.

Източници[редактиране | edit source]

  • Eugen Philippow, Karl Walter Bonfig, Wolf-Jürgen Becker. Grundlagen der Elektrotechnik. Verlag Technik Berlin, 2000.
  • Nathan Ida. Engineering Electromagnetics. Springer, 2004.