Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)

Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица $r: \N\to\R$ притежава сходяща подредица.

Доказателство

Нека $r: \N\to\R$ и $\forall n\in\N \;\; a \le r_n \le b$ Ако $r$ има точка на сгъстяване $l$, то очевидно $l\in\left[ a;b \right]$.

Да допуснем, че $r$ няма точка на сгъстяване. Тогава $\forall x \in \left[ a;b \right] \exists$ околност $U_x$ на $x$, такава че $U_x$ съдържа само краен брой членове на $r$.

Тогава обединението $\Omega = \cup U_x$ е покритие на интервала $\left[ a;b \right]$. От теоремата на Хайне - Борел следва, че $\Omega$ има крайно подпокритие $\Omega ^ \prime$, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на $r$. Но $r$ има безбройно много членове в интервала $\left[ a;b \right]$, което е противоречие и следователно $r$ има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.