Теорема на Талес

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Теоремата на Талес гласи: успоредни прави отсичат от раменете на даден ъгъл пропорционални отсечки.

Thales-theorem.png

Доказателство[редактиране | edit source]

Двата основни факта, които ще използваме в доказателството са: първо, че сборът на ъглите в един триъгълник е 180° и второ - ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.

Нека т.O е центъра на окръжността. Отсечките OA, OB и OC се явяват радиуси в тази окръжност, съответно са равни помежду си и AC е диаметър на окръжността. Следователно триъгълниците OAB и OBC са равнобедрени и тъй като ъгълите при основата им са равни, то OBC = OCB и BAO = ABO.

Ако означим ъгъл BAO с γ; а ъгъл OBC с δ, то

2γ + γ ′ = 180°

и

2δ + δ ′ = 180°
Thales-proof.png

Освен това знаем, че

γ ′ + δ ′ = 180°

Ако съберем първите две уравнения и от тях извадим третото, ще получим

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

където, след унищожаването на γ ′ и δ ′, получаваме

γ + δ = 90° следователно ъгълът АВС е прав

което и трябваше да се докаже.

Обратното на теоремата на Талес също е вярно, тоест хипотенузата в правоъгълен триъгълник е диаметър на описаната около триъгълника окръжност.

Двете твърдения могат да бъдат обобщени така: Центърът на описаната около един триъгълник окръжност лежи на някоя от неговите страни, тогава и само тогава, когато триъгълникът е правоъгълен.

Практическо приложение[редактиране | edit source]

Практическият смисъл на тази теорема е, че така може да се намери точния център на една окръжност. Налагаме правоъгълен триъгълник върху окръжност докато неговия връх допре точка от окръжността. Свързваме двете точки, с които триъгълника пресича окръжността и така получаваме един диаметър. Аналогично построяваме още един. Пресечната им точка е центъра на окръжността.

Външни препратки[редактиране | edit source]