Теорема на Чева

Теоремата на Чева е класическа теорема за триъгълници в Евклидовата геометрия. Установена е от Джовани Чева през 1678 г.

Приложение

Теоремата гласи: през всеки от върховете на триъгълник ABC минава права, пресичаща противоположната му страна съответно в точките D, E и F и трите прави се пресичат в една точка.

Винаги ${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=1.$

Теоремата може да се види и в не толкова популярнатата ѝ тригонометрична форма ${\frac {\sin(\angle ABE)}{\sin(\angle CBE)}}\cdot {\frac {\sin(\angle BCF)}{\sin(\angle ACF)}}\cdot {\frac {\sin(\angle CAD)}{\sin(\angle BAD)}}=1$

Теоремата на Чева: трите отсечки се пресичат в точка от ABC.

Доказателство на теоремата

Нека трите прави се пресичат в точка „O“.

Лицето на триъгълник AFC = AF по височината към AF.

Лицето на триъгълник BFC = BF по височината към BF, която е равна височината към AF.

Следователно: S(AFC)/S(BFC) = AF/FB.

По същия начин, лицата на триъгълниците OBC и OAC се отнасят както АF към FB (S(OBC)/S(OAC) = FB/AF).

Аналогично:

S(BOA)/S(AOC) = BD/DC, S(ABO)/S(OBC) = AE/EC, S(OBC)/S(AOC) = FB/AF.

Сега се замества в уравнението:

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=1={\frac {S(AOC)}{S(BOA)}}\times {\frac {S(BOA)}{S(OBC)}}\times {\frac {S(OBC)}{S(AOC)}}=1.$

После, след съкращаване, се получава отговор 1 и теоремата е доказана.