Теорема на Чева

Приложение

Теоремата гласи: През всеки от върховете на триъгълник ABC минава права, пресичаща противоположната му страна съответно в точките D, E и F и трите прави се пресичат в една точка. Винаги $\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1.$

Теорема на Чева : Трите линии се пресичат в точка от ABC

Доказателство на теоремата

Нека трите прави се пресичат в точка "O". Лицето на триъгълник AFC = AF*височината към AF Лицето на триъгълник BFC = BF*височината към BF, която е равана височината към AF. Следователно: Safc/Sbfc = AF/FB. По същият начин лицата на триъгълниците OBC и OAC се отнасят както АF към FB (Sobc/Soac = FB/AF)

Аналогично:

Sboa/Saoc = BD/DC, Sabo/Sobc = AE/EC, Sobc/Soac = FB/AF. Сега заместваме във уравнението $\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1.$ = $\frac{Sboa}{Saoc} \times \frac{Sboa}{Sobc} \times \frac{Sobc}{Saoc} = 1.$

После съкращаваме всичко, получаваме отговор 1 и теоремата е доказана.