Теория на хаоса

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Теория на хаоса е математически апарат, опериращ на базата на поведението на някои нелинейни динамични системи и описващ явление, известно като хаос — още известно като термина „чувствителност към началните условия“. Примери за подобни системи са атмосферата, турбулентните потоци, биологичните популации и икономическите системи.

Въпреки че математическите системи с хаотично поведение се явяват детерминирани, т. е. се подчиняват на някакъв строг закон, също така съществува такава област на физиката като теорията на квантовия хаос, изучаваща недетерминираните системи, действащи по законите на квантовата механика.

Теория на хаоса-атрактори[редактиране | edit source]

Откриването на възможността за определяне на параметрите на хаоса, да се определи поведението на нелинейните системи се счита за третото голямо откритие на 20-ти век наред с теорията на относителността и квантовата механика... Всичко може и вече се третира на практика от позициите на теорията на хаоса, включително социалната организация, цикличностите в развитието, движението на пазарите, биологичните популации, турбуленцията на флуидите и т.н.

Основни понятия[редактиране | edit source]

С какви инструменти разполага теорията на хаоса? На първо време това са атракторите и фракталите. Атрактор (от англ. to attract – притеглям) – геометрична структура, характеризираща поведението във фазовото пространство в продължение на дълго време. Тук възниква необходимост да се определи понятието фазово пространство. Фазово пространство – това е абстрактно пространство, координатите на което представляват степените на свобода на системата. Например, при движениито на махалото имаме две степени на свобода. Това движение е напълно определено от началната скорост на махалото и положението му. Ако на движението на махалото не се оказва съпротивление, то фазовото му пространство ще бъде затворена крива. В реалността на Земята на движението на махалото влияе силата на триене. В този случай фазовото пространство ще бъде спирала.

Бифуркация и Дървото на Фейгенбаум.

Казано просто, атрактор е това, към което се стреми системата, към което тя е привлечена. Атракторът е област в пространството на възможните състояния, в която системата може да се движи, без да може да се откъсне от тях. В този смисъл, атракторът е подобен на "черна дупка" в пространството, постоянно всмукваща материя и никога не позволяваща нещо да се измъкне. Тази област може да има различни измерения: като нулевомерния точков атрактор, и едномерния граничен цикъл, които са най-простите случаи.

Точков атрактор[редактиране | edit source]

Най-простият тип атрактор е точката. Такъв атрактор е махалото при наличие на триене. Независимо от началната скорост и положение, такова махало винаги ще се стреми към състояние на покой, т.е. в точка. Точковият атрактор е най-простия път от хаоса към реда. Той съществува в първото измерение на линия, която е сбор от безкрайно количество точки. Точковият атрактор води например човека неизменно към една дейност или го отблъсква от друга, подобно положителния или отрицателния полюс на електромагнитната енергия. Ние не знаем как ще се държи всяка частица от водата във вана с играещо вътре дете, но със сигурност знаем че, ако я пуснем да изтича, ще се стреми към точката на отвора на дъното.

Съществува понякога точка между привличането и отвращението, точка-седло (инфлексна точка), в която енергиите са в баланс, преди една от силите да стане по-голяма от другата. С изключение на тези редки примери на инфлексна точка, това е черно-бял, "добър-лош", целенасочен атрактор.

Цикличен атрактор (граничен цикъл)[редактиране | edit source]

Следващият тип атрактор е граничният цикъл, който има вид на затворена крива линия. Пример за такъв атрактор е махалото, на което не влияе силата на триене. Друг пример е биенето на сърцето. Честотата на биене може да намалява или нараства, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива. Цикличния атрактор кара човека да се стреми отначало към едно нещо, а след това към друго (цикъла от сън и бодърстване, например), подобно на магнитен кръг, отначало привличайки, после отблъсквайки се, след това привличайки се отново. Той съществува във второто измерение на равнина, сбор от безкрайно количество линии. С него се характеризира пазара, където цената се движи нагоре или надолу в определен диапазон в течение на някакъв период време. Например, високите борсови цени на зърно есента на тази година предизвикват увеличение на посевните площи следващата пролет, което, на свой ред, води до увеличаване на реколтата зърно и понижаване на цените в следващата година. След това фермерите намаляват посевните площи и т. н. Този атрактор е по-сложен от точковия атрактор и представлява основна структура за по-сложно поведение.

Тороидален атрактор[редактиране | edit source]

Тороидалния атрактор е още по-сложен атрактор. Той представлява сложна циркулация, която се повтаря, докато се движи напред. Съществува в третото измерение, в тяло, което се състои от безкраен брой плоскости. В сравнение с цикличния и точковия атрактор, атрактора тор въвежда по-голяма степен безпорядъчност. Но за разлика от странния атрактор, прогнози все още могат да се правят, образеца е фиксиран и краен. Графично изглежда като геврек, автомобилна гума (тор). Той образува спираловидни кръгове на ред различни плоскости и понякога се връща в същата точка, от която е тръгнал, завършвайки пълен оборот.

Неговата основна характеристика е повтарящото се действие. Този атрактор пресъздава нещо като хомеостаза, подобно на този, като популяцията на насекоми влияе на популацията на жабите. В частност, присъствието на голям брой насекоми води до увеличение броя на жабите, а големия брой жаби ще изяждат повече насекоми, което води до съкращаване популацията на тези насекоми. Поради намаляването на храната, популацията на жабите започва да намалява. Аналогията в психологията са сензорните функции - усещане и чувствителност.

От всичко гореказано следва, че точковия атрактор може да се представи във вид на едномерна линия, цикличния атрактор като множество линии (необезателно прави) в двумерната плоскост, тороидалният атрактор са множество плоскости в тримерното пространство.

Странен атрактор[редактиране | edit source]

Първият странен атрактор е атракторът на Лоренц. Хаосът в атмосферата е един от първите обекти на съвременната теория на хаоса, защото самият Едуард Лоренц бил метеоролог. Неговият труд за детерминирано непериодично течение (Edward N. Lorenz, "Deterministic non-periodic flow Journal of Atmospheric Sciences, 20, 130-41 (1963)) се смята от мнозина, че полага началото на теорията на хаоса. В него поведението на газообразна система, Лоренц опростява до система от три нелинейни диференциални уравнения, в случая дадени с Нютонови означения:

   \dot{x} = a(y - x)
   \dot{y} = x(b - z) - y
   \dot{z} = xy - cz

Атракторът на Лоренц, представя поведението на газ, в което и да е дадено време. Състояние в даден момент зависи от състоянието му в момента, предшестващ дадения.

Ако началните данни се изменят дори с нищожно малки величини, да кажем, съизмерими с колебанията на числото на Авогадро (от порядъка на 10-24), проверката на състоянието на атрактора ще покаже абсолютно различни стойности. Това става заради това, че малките разлики се увеличават в резултат на рекурсията. Въпреки това обаче, графиката на атрактора ще изглежда достатъчно сходна.

Двете системи ще имат абсолютно различни значения във всеки даден момент от време, но графиката на атрактора ще остане същата, т.е. тя изразява общото поведение на системата.

Обяснението за неравномерното преместване на газа лежи на молекулярно ниво - все пак движението на атомите и молекулите във флуидите си е съвсем хаотично.

Молекулярните взаимодействия са много слаби, но те предизвикват случайните флуктуации, които водят до непредвидимите последствия. Най-важната характеристика на странния атрактор е чувствителността му към началните условия ("ефекта на пеперудата"). И най-малкото отклонение от началните условия може да доведе до огромни различия в резултата.

Според известната пословица: "Когато в дъждовните гори на Амазония една пеперуда размаха крилца - тя предизвиква ураган в Мексико". Дали наистина можем да разчитаме на пеперудите?

Какво прави пеперудата? Измества една точка във фазовото пространство, което представя метеорологичното време. Да допуснем, че тази точка лежи на един макар и много сложен и многомерен атрактор - малък размах на пеперудата може да отдели точка от атрактора само за много кратко време, след което бързо се връща на същия атрактор в да кажем, близка, съседна точка B. Траекторията на отклонение A и B е експоненциална, но тъй като лежат на един атрактор, те генерират подобно поведение във времето. Пеперудите сами не предизвикват ураганите (причините за тях са по-глобални), но могат да повлияят "леко" на това, кога точно ще се случат.

Малка теория на хаоса[редактиране | edit source]

Теория, обясняваща несъществуването на понятието "хаос" в общоприетия смисъл. Тъй като се приема, че хаосът е противоположност на идеалния ред, всъщност следва, че всяка модификация, различна от идеалния ред, е отчасти хаос и отчасти ред (ако вземем аритметична прогресия с разлика 1 и 10 члена, подредени първо по възходящ начин, след това разбъркани произволно, твърдението може да се докаже). Всяка неизвестна подредба на тази прогресия може да се нарече хаос, а всяка вече известна се нарича ред. При произволна подредба на прогресията е невъзможно да се постигне хаос, тъй като въпросният начин на подреждане е вече известен, което прави тази подредба (според Теорията) ред. С това учените от ПСУ доказаха летливостта на понятието "хаос", тъй като ако се даде нагледен пример за хаос, той моментално изчезва.

Вижте също[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

Литература[редактиране | edit source]